XLVII OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XLVII OM, 1995-1996

Etap:

Wielomian o współczynnikach całkowitych daje przy dzieleniu przez wielomian $x^2 - 12x + 11$ resztę $990x - 889$ . Wykazaż, że wielomian te nie ma pierwiastków całkowitych.

Rozwiązanie

Zgodnie z założeniem, rozważany wielomian ma postać

$ (1) \qquad \quad P(x) = (x-1)(x-11)Q(x) + (990x-889), $

gdzie $Q(x)$ jest pewnym wielomianem.

Dalsze rozumowanie opiera się na następującym spostrzeżeniu: dla każdej pary różnych liczb całkowitych $k, m$

$ (2) \qquad \quad \ \textrm{liczba}\ P(k) - P(m) \ \textrm{dzieli się przez} \ k - m. $

[Uzasadnienie: jeżeli $P(x) = a_0 + a_1x + \ldots +a_nx^n$ ( $a_i$ całkowite), to różnica $P(k) - P(m)$ jest sumą składników $a_i(k^i-m^i)$ dla $i = 1,\ldots,n$ , a każdy z tych składników dzieli się przez $k - m$ .]

Przypuśćmy, że wielomian $P(x)$ ma pierwiastek całkowity $x_0$ . Przyjmując w (2) $k = 1, m = x_0$ , a następnie $k = 11, m = x_0$ , stwierdzamy, że

$ (3) \qquad \quad P(1) \ \textrm{dzieli się przez}\ 1-x_0, \quad P(11) \ \textrm{dzieli się przez}\ 11-x_0. $

Ale z przedstawienia (1) widać, że $P(1) = 101$ , a $P(11) = 10001$ . Różnica $1-x_0$ , jako dzielnik liczby pierwszej $P(1) = 101$ , musi być jedną z liczb: $-101$ , $-1$ , $1$ , $101$ . Dla tych wartości $x_0$ różnica $11 -x_0$ przyjmuje odpowiednio wartości: $-91$ , $9$ , $11$ , $111$ . Wszelako żadna z nich nie jest dzielnikiem liczby $P(11) = 10001 ( = 73 \cdot 137)$ .

Jednoczesne spełnienie warunków (3) nie jest więc możliwe. Sprzeczność dowodzi, że wielomian $P(x)$ nie ma pierwiastka całkowitego.