XLVII OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XLVII OM, 1995-1996

Etap:

Rozstrzygnąć, czy istnieją takie dwa przystające sześciany o wspólnym środku, że każda ściana pierwszego sześcianu ma punkt wspólny z każdą ścianą drugiego sześcianu.

Rozwiązanie

Udowodnimy, że nie istnieją dwa sześciany $\mathcal{C}$ i $\mathcal{C'}$ , dla których byłby spełniony warunek:

$\quad (*) \quad$ każda ściana sześcianu $\mathcal{C}$ ma punkty wspólne z każdą ścianą $\mathcal{C'}$ .

Podane w zadaniu dodatkowe założenia (przystawanie, wspólny środek) nic są do niczego potrzebne.

Niech więc będą dane dwa sześciany $\mathcal{C}$ i $\mathcal{C'}$ . Ponieważ w zdaniu (*) role symboli $\mathcal{C}$ i $\mathcal{C'}$ są symetryczne, można bez szkody dla ogólności przyjąć, że długość krawędzi sześcianu $\mathcal{C'}$ jest nie mniejsza niż długość krawędzi sześcianu $\mathcal{C}$ . Pokażemy trzema sposobami, że warunek (*) nie może być spełniony.

Niech $\mathcal{C}$ będzie sześcianem o krawędzi jednostkowej, a $\mathcal{C'}$ - sześcianem o krawędzi długości $\geq 1$ . Wybierzmy dwie przeciwległe ściany $\mathcal{S}$ i $\mathcal{T}$ sześcianu $\mathcal{C'}$ . Płaszczyzna ściany $\mathcal{S}$ dzieli przestrzeń na dwie półprzestrzenie; oznaczmy przez $\mathcal{H}$ tę półprzestrzeń, która nie zawiera kwadratu $\mathcal{T}$ . Przyjmijmy, że $\mathcal{H}$ jest półprzestrzenią domkniętą; to znaczy, że płaszczyzna ściany $\mathcal{S}$ jest podzbiorem zbioru $\mathcal{H}$ .

Przypuśćmy, że w zbiorze $\mathcal{H}$ znajdują się dwa wierzchołki $A$ , $B$ sześcianu $\mathcal{C}$ , nie będące końcami jednej krawędzi. Oznaczmy środek odcinka $AB$ przez $M$ ; jest to także punkt zbioru $\mathcal{H}$ .

Jeżeli $AB$ jest jedną z czterech przekątnych sześcianu $\mathcal{C}$ przecinających jego wnętrze, to $M$ jest jego środkiem. Każdy punkt sześcianu $\mathcal{C}$ jest odległy od $M$ co najwyżej o $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ . Jest to liczba mniejsza niż $1$ . Ponieważ odległość kwadratu $\mathcal{T}$ od półprzestrzeni $\mathcal{H}$ wynosi co najmniej $1$ , zatem kwadrat $\mathcal{T}$ nie zawiera żadnego punktu sześcianu $\mathcal{C}$ .

Jeżeli $AB$ jest przekątną jednej ze ścian sześcianu $\mathcal{C}$ , to $M$ jest środkiem tej ściany. Wszystkie jej punkty są odległe od $M$ co najwyżej o $\frac{1}{2} \sqrt{2}$ , wobec czego cała ta ściana jest rozłączna z kwadratem $\mathcal{T}$ .

Pozostaje do rozpatrzenia sytuacja, gdy w zbiorze $\mathcal{H}$ albo nie ma żadnego wierzchołka sześcianu $\mathcal{C}$ , albo jest dokładnie jeden wierzchołek, albo są dokładnie dwa wierzchołki, połączone krawędzią. Pozostałe wierzchołki (w liczbie $8$ , $7$ lub $6$ ) leżą poza zbiorem $\mathcal{H}$ : w każdym przypadku można wśród nich znaleźć cztery punkty będące wierzchołkami pewnej ściany sześcianu $\mathcal{C}$ . Ściana ta nie ma punktów wspólnych ze zbiorem $\mathcal{H}$ , a więc nie ma punktów wspólnych ze ścianą $\mathcal{S}$ sześcianu $\mathcal{C}$ .

Wykazaliśmy, że sześcian $\mathcal{C}$ ma ścianę rozłączną albo z $\mathcal{S}$ , albo z $\mathcal{T}$ . Warunek (*) nie może być spełniony.

Uwaga 2. Zastępując w treści zadania słowo sześciany wszędzie przez równoległościany dostajemy problem znacznie ogólniejszy. Autor niniejszego opracowania nie zna odpowiedzi na pytanie zawarte; w tak przeformułowanym zadaniu.

Uwaga 3. Kostką czterowymiarową nazywamy podzbiór czterowymiarowej przestrzeni $\mathbb{R}^4$ podobny do zbioru

$<br /> \mathcal{C} = \{ (x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{R}^4: |x_i| \leq 1 \quad \textrm{dla}\ i = 1,2,3,4 \}<br />$

(podobny w sensie geometrycznym). Podzbiór zbioru $\mathcal{C}$ złożony z punktów o pierwszej współrzędnej równej $1$ jest izometryczny z trójwymiarowym sześcianem; to samo można powiedzieć o pozostałych siedmiu podzbiorach zbioru $\mathcal{C}$ otrzymanych przez ustalenie którejkolwiek współrzędnej i nadanie jej wartości $1$ lub wartości $-1$ . Te podzbiory nazywamy ścianami kostki $\mathcal{C}$ . Jeśli $\mathcal{C'}$ jest inną kostką, otrzymaną z kostki $\mathcal{C}$ przez podobieństwo, to obrazy ścian kostki $\mathcal{C}$ w tym podobieństwie tworzą ściany kostki $\mathcal{C'}$ .

Dla kostek czterowymiarowych można postawić problem analogiczny do rozpatrywanego w zadaniu: czy istnieją w przestrzeni $\mathbb{R}^4$ takie dwie kostki, że każda ściana jednej z nich ma punkty wspólne z każdą ścianą drugiej? Odpowiedź może się wydać zaskakująca: w $\mathbb{R}^4$ takie pary istnieją. Podamy przykład - bez żadnych uzasadnień; sprawdzenie prawdziwości wszystkich stwierdzeń w następnym akapicie może być ambitnym zadaniem dla Czytelnika.

Jedną z kostek będzie zbiór $\mathcal{C}$ zdefiniowany powyżej. Jej wierzchołkami są punkty postaci $(\pm 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1)$ (wybór znaków jest dowolny; kostka taka ma więc szesnaście wierzchołków). Weźmy teraz pod uwagę inną szesnastkę punktów: osiem punktów postaci $(\pm 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1)$ , w których iloczyn współrzędnych równa się $1$ , oraz osiem punktów mających po trzy współrzędne równe $0$ , a pozostałą równą $2$ lub $-2$ . Ta szesnastka punktów także jest zbiorem wierzchołków czterowymiarowej kostki $\mathcal{C'}$ , i to przystającej do $\mathcal{C}$ . Przy tym każda trójwymiarowa ściana jednej kostki ma z każdą trójwymiarową ścianą drugiej kostki co najmniej jeden wspólny wierzchołek!