XLVII OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLVII OM, 1995-1996

Etap:

Rozstrzygnąć, czy każdy wielomian o współczynnikach całkowitych jest sumą trzecich potęg wielomianów o współczynnikach całkowitych.

Rozwiązanie

Jeśli $P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n$ jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to $(P(x))^3 = b_0 + b_1x + b_2 x^2 + b_3 x^3 +\ldots + b_{3n}x^{3n}$ ; przy tym $b_0 = a_0^3$ , $b_1= 3a_0^2 a_1$ . Tak więc trzecia potęga wielomianu o współczynnikach całkowitych ma współczynnik przy $x$ podzielny przez $3$ .

Również suma trzecich potęg takich wielomianów ma tę samą własność.

Zatem żaden wielomian, w którym współczynnik przy $x$ nie jest podzielny przez $3$ (na przykład $W(x)=x$ ) nie jest sumą trzecich potęg wielomianów o współczynnikach całkowitych.