XLVII OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLVII OM, 1995-1996

Etap:

Okrąg o środku $O$ wpisany w czworokąt wypukły $ABCD$ jest styczny do boków $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ odpowiednio w punktach $K$ , $L$ , $M$ , $N$ , przy czym proste $KL$ i $MN$ przecinają się w punkcie $S$ . Dowieść, że proste $BD$ i $OS$ są prostopadłe.

Rozwiązanie

Oznaczmy rzuty prostokątne punktów $B$ i $D$ na prostą $OS$ odpowiednio przez $U$ i $V$ . Kąty $OKB$ , $OLB$ i $OUB$ są proste, a zatem punkty $K$ , $L$ i $U$ leżą na okręgu, którego średnicą jest odcinek $OB$ (rysunek 7). (Punkt $U$ może się pokrywać z $O$ i nie można wówczas mówić o kącie $OUB$ ; ale w takim przypadku stwierdzenie, że $U$ jest punktem wspomnianego okręgu nie wymaga żadnego uzasadnienia.) Analogicznie, punkty $M$ , $N$ i $V$ leżą na okręgu, którego średnicą jest odcinek $OD$ . Stosując do tych okręgów twierdzenie o odcinkach siecznych otrzymujemy równości

$<br /> |SK| \cdot |SL| = |SO| \cdot |SU| \quad \textrm{oraz} \quad |SM| \cdot |SN| = |SO| \cdot |SV|.<br />$

To samo twierdzenie, zastosowane do okręgu $w$ wpisanego w czworokąt $ABCD$ pokazuje, że lewe strony powyższych związków są równe. Zatem i prawe strony muszą być równe, czyli zachodzi równość $|SU|=|SV|$ ; przy tym odcinki $SU$ i $SV$ są zawarte w półprostej $SO^\to$ . Stąd wniosek, że punkty $U$ i $V$ pokrywają się, i wobec tego prosta $BD$ jest prostopadła do $OS$ .

Uwaga: Przeprowadzone rozumowanie nie zależy od tego, czy $S$ jest punktem przecięcia półprostych $KL^\to$ i $NM^\to$ , czy półprostych $LK^\to$ i $MN^\to$ . Ta sama uwaga odnosi się także i do dalszych sposobów rozwiązania.