XLVII OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLVII OM, 1995-1996

Etap:

Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych $(x,y)$ spełniające równanie

$ x^2(y - 1) + y^2(x - 1) = 1. $

Rozwiązanie

Podstawiamy $x = u + 1$ , $y = v + 1$ i przekształcamy równanie:

$ \begin{split} (u + 1)^2v + (v + 1)^2u = 1; \\ (u + v)uv + 4uv + (u + v) = 1; \\ (u + v + 4)(uv + 1) = 5. \end{split} $

Jeden z czynników otrzymanego iloczynu musi być równy $5$ lub $-5$ , a drugi (odpowiednio) $1$ lub $-1$ .

Stąd wynika, że liczby $u + v$ oraz $uv$ spełniają jeden z następujących układów równań:

$ \left\{ \begin{split} u+v&=1 \\ uv&=0, \end{split} \right. \quad\left\{ \begin{split} u+v & = -9 \\ uv& = -2, \end{split} \right. \quad \left\{ \begin{split} u+v & = -3 \\ uv& =4, \end{split} \right. \quad \left\{ \begin{split} u+v & = -5 \\ uv& =-6. \end{split} \right. $

W takim razie liczby $u$ i $w$ są pierwiastkami jednego z następujących trójmia-nów kwadratowych:

$ t^2-t; \quad t^2 + 9t -2; \quad t^2 + 3t + 4; \quad t^2 + 5t-6. $

Pierwszy z nich ma pierwiastki $0$ , $1$ , ostatni zaś - pierwiastki $-6$ , $1$ ; pozostałe dwa nie mają pierwiastków całkowitych. Daje to następujące rozwiązania $(x,y)$ rozważanego równania: $(1,2)$ , $(2,1)$ , $(-5,2)$ , $(2,-5)$ .