XLVII OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLVII OM, 1995-1996

Etap:

III

Wyznaczyć wszystkie pary $(n,r)$ , gdzie $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią $r$ zaś liczbą rzeczywistą, dla których wielomian $(x + 1)^n - r$ jest podzielny przez wielomian $2x^2 + 2x + 1$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $Q_n(x)$ i $R_n(x)$ odpowiednio iloraz i resztę z dzielenia wielomianu $(x + 1)^n$ przez $2x^2 + 2x + 1$ . Para $(n,r)$ jest jedną z szukanych par wtedy i tylko wtedy, gdy $R_n(x)$ jest wielomianem stałym, równym tożsamościowo $r$ .

Dla $n = 1,2,3,4$ mamy:

$ \begin{split} & \left(x + 1\right)^1 =0\cdot\left(2x^2 + 2x + 1\right) + \left(x + 1\right),\\ & (x + 1)^2 = \frac{1}{2} \cdot \left(2x^2 + 2x +1\right) + \left(x + \frac{1}{2}\right),\\ & (x +1)^3 = \left(\frac{1}{2}x +1\right) \left(2x^2 + 2x +1\right) + \frac{1}{2}x,\\ & (x + 1)^4=\left(\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{5}{4}\right)\left(2x^2 + 2x + 1\right)-\frac{1}{4}. \end{split} $

Tak więc

$ (1) \qquad R_1(x) = x + 1,\quad R_2(x) = x+\frac{1}{2},\quad R_3(x) = \frac{1}{2}x, \quad R_4(x) = -\frac{1}{4}. $

Dla każdej liczby całkowitej $n \geq 0$ zachodzi równość

$ \begin{split} (x + 1)^{n+4} & = (x + 1)^n(x + 1)^4 = \\ & = \left(Q_n(x)(2x^2 + 2x + 1) + R_n(x)\right)\left(Q_4(x)(2x^2 + 2x + 1)- \frac{1}{4}\right) =\\ & = (\textrm{wielomian podzielny przez}\ (2x^2 + 2x + 1)) - \frac{1}{4}R_n(x). \end{split} $

Wobec tego $R_{n+4}(x) = -\frac{1}{4}R_n(x)$ . Stąd oraz ze wzorów (1) otrzymujemy przez indukcję następujące równości (dla $k = 1,2,3,\ldots$ ):

$ \begin{array}{ll} R_{4k}(x) = \left(-\frac{1}{4}\right)^k, & R_{4k+1}(x) = \left(-\frac{1}{4}\right)^k(x + 1),\\ R_{4k+2}(x) = \left(-\frac{1}{4}\right)^k\left(x + \frac{1}{2}\right), & R_{4k+3}(x) = \left(-\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{1}{2}x\right). \end{array} $