XLVII OM - III - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLVII OM, 1995-1996

Etap:

III

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ oraz liczby dodatnie $a_l, a_2, \ldots , a_n$ , których suma równa się 1.

(a) Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $x_l, x_2, \ldots , x_n$ o sumie równej 1 zachodzi nierówność

$ \2\sum_{i<j} x_ix_j \leq \frac{n-2}{n-1} + \sum_{i=1}^n \frac{a_ix_i^2}{1-a_i} $

(b) Wyznaczyć wszystkie układy liczb dodatnich $x_l, x_2, \ldots , x_n$ o sumie równej 1 dla których powyższa nierówność staje się równością.

Uwaga: Symbol $\sum_{i<j} x_ix_j$ oznacza sumę $\binom{n}{2}$ składników odpowiadających wszystkim parom wskaźników $i,j$ ze zbioru $\{1,2, \ldots ,n\}$ spełniającym warunek $i < j$ .

Rozwiązanie

Z podanych warunków ( $n \geq 2$ ; $a_i>0$ ; $\sum a_i =1$ ) wynika, że liczby $a_1, a_2, \ldots, a_n$ należą do przedziału $(0;\ 1)$ . Przyjmijmy

$ (1) \qquad \quad c_i=\sqrt{1-a_i} \ \textrm{dla} \ i=1,2,\ldots,n; $

są to także liczby z przedziału $(0;\ 1)$ . Zachodzi dla nich równość

$ (2) \qquad \quad \sum_{i=1}^n c_i^2 = n-1. $

Niech $x_1, x_2,\ldots, x_n$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, których suma jest równa $1$ . Wówczas

$ 2 \sum_{i<j} x_ix_j = \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) ^2-\sum_{i=1}^n x_i^2=1- \sum_{i=1}^n x_i^2. $

Nierówność dana do udowodnienia przybiera postać

$ 1- \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq \frac{n-2}{n-1} + \sum_{i=1}^n \frac{a_ix_i^2}{1-a_i}, $

czyli

$ \sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{1-a_i} \geq \frac{1}{n-1}; $

a używając oznaczenia (1) dostajemy kolejną równoważną postać dowodzonej nierówności:

$ (3) \qquad \quad \sum_{i=1}^n \left( \frac{x_i}{c_i} \right)^2 \geq \frac{1}{n-1}; $

Dla każdego numeru $i \in \{1,2,\ldots,n\}$ mamy oczywistą nierówność

$ (4) \qquad \quad \left( \frac{x_i}{c_i} - \frac{c_i}{n-1} \right)^2 \geq 0. $

Dodajemy te $n$ nierówności stronami (rozpisując kwadraty różnic):

$ \sum_{i=1}^n \left( \left(\frac{x_i}{c_i}\right)^2 - \frac{2x_i}{n-1} + \left(\frac{c_i}{n-1}\right)^2 \right) \geq 0. $

Korzystamy ze wzoru (2) oraz z tego, że $\sum x_i=1$ , i otrzymujemy

$ \sum_{i=1}^n \left( \frac{x_i}{c_i} \right)^2 - \frac{2}{n-1} + \frac{1}{(n-1)^2} \cdot (n-1) \geq 0. $

Po prostym przekształceniu wynika stąd nierówność (3).

Udowodniliśmy tezę (a).

Z przeprowadzonego rozumowania wynika także natychmiast rozstrzygnięcie kwestii (b): nierówność (3) (równoważna nierówności podanej w zadaniu) staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy każda z nierówności (4) (dla $i = 1,2, \ldots,n$ ) przechodzi w równość; to znaczy, gdy $x_i/c_i= c_i/(n - 1)$ , czyli - zgodnie z oznaczeniem (1) — gdy

$ (5) \qquad \quad x_i=\frac{1-a_i}{n-1} \ \textrm{dla} \ i=1,2,\ldots, n. $