XLVI OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLVI OM, 1994-1995

Etap:

Wyznaczyć wszystkie pary $(x,y)$ liczb naturalnych, dla których liczby $\frac{x+1}{y}$ oraz $\frac{y+1}{x}$ są naturalne.

Rozwiązanie

Niech $(x,y)$ będzie jedną z szukanych par. Liczby naturalne $y \geq 1$ oraz $x \geq 1$ są odpowiednio dzielnikami liczb $x + 1$ oraz $y + 1$ . Zatem iloczyn $xy$ jest dzielnikiem iloczynu $(x + 1)(y+ 1)$ , równego sumie $xy + x + y + 1$ . Jest więc też dzielnikiem sumy $x + y + 1$ , a zatem zachodzi nierówność $xy \leq x + y + 1$ , czyli $(x-1)(y -1) \leq 2$ . Wartość iloczynu $(x-1)(y-1)$ może być w takim razie równa tylko $2$ , $1$ lub $0$ .

W pierwszym przypadku jeden z czynników $(x - 1)$ i $(y- 1)$ jest równy $2$ , a drugi $1$ , czyli para $(x,y)$ jest jedną z par $(3,2)$ i $(2,3)$ .

W drugim przypadku mamy $x -1 = y -1 = 1$ , czyli $x = y = 2$ . Jednak para $(x,y) = (2,2)$ nie spełnia warunku zadania (iloraz $3/2$ nie jest liczbą naturalną).

W trzecim przypadku co najmniej jeden z czynników $(x - 1)$ i $(y- 1)$ jest zerem. Jeśli na przykład $y - 1 = 0$ , czyli $y = 1$ , to liczba $x$ , jako dzielnik sumy $y + 1 = 2$ , musi być równa $1$ lub $2$ ; tak więc $x = y = 1$ lub $y = 1$ , $x = 2$ lub - przez symetrię - $x = 1$ , $y = 2$ .

Rekapitulując, widzimy, że tylko następujące pary $(x,y)$ mogą spełniać postawione warunki: $(3,2)$ , $(2,3)$ , $(1,1)$ , $(2,1)$ , $(1,2)$ - i istotnie je spełniają; sprawdzenie jest natychmiastowe.