XLVI OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLVI OM, 1994-1995

Etap:

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ . Rozwiązać układ równań

$ \begin{cases} x_1|x_1| = x_2|x_2| + (x_1-1)|x_1-1| \\ x_2|x_2| = x_3|x_3| + (x_2-1)|x_2-1| \\ \ldots \ldots \ldots \ldots\\ x_n|x_n| = x_1|x_1| + (x_n-1)|x_1-1| \\ \end{cases} $

Rozwiązanie

Załóżmy, że liczby $x_1, x_2, \ldots, x_n$ spełniają podany układ równań. Przepisujemy ten układ w postaci

$ (1) \qquad x_{i+1} | x_{i+i}| = x_i |x_i|-(x_i-1)|x_i-1| \quad \textrm{dla} \quad i = 1,\ldots,n, $

przyjmując, że niewiadome są numerowane cyklicznie ( $x_{n+1} = x_1$ ). Dodajemy wszystkie równania stronami, redukujemy występujące po obu stronach składniki $x_1 |x_1|$ , $x_2 |x_2|$ , $\ldots$ , $x_n|x_n|$ , i otrzymujemy równość

$ (2) \qquad \sum_{i=1}^n (x_i-1)|x_i-1| =0. $

Zauważmy, że prawa strona $i$ -tego równania układu (1) ma postać różnicy $\Delta_i = f(x_i)- f(x_i-1)$ , gdzie

$ f(x)=x|x| = \left\{ \begin{array}{ccl} x^2 & \textrm{dla} & x \geq 0,\\ -x^2 & \textrm{dla} & x <0. \end{array} \right. $

Tak określona funkcja $f$ jest ściśle rosnąca. W takim razie każda różnica $\Delta_i$ , jest dodatnia, czyli prawe strony wszystkich równań (1) są liczbami dodatnimi. Zatem i lewe strony muszą być liczbami dodatnimi, skąd wniosek, że wszystkie liczby $x_1,x_2,\ldots,x_n$ są dodatnie.

Gdyby wszystkie były mniejsze od $1$ , wówczas wszystkie składniki sumy (2) byłyby liczbami ujemnymi, wbrew temu, że wartość sumy wynosi $0$ . Zatem pewna liczba $x_j$ spełnia nierówność $x_j \geq 1$ , a więc $j$ -te równanie układu (1) możemy przepisać jako $x^2_{j+1} = x^2_j- (x_j-1)^2$ . Stąd

$ x_{j+1} = \sqrt{x_j^2-(x_j-1)^2} = \sqrt{2x_j -1} \geq 1. $

Powtarzając cyklicznie to samo rozumowanie stwierdzamy kolejno, że liczby $x_{j+1}, x_{j+2}, \ldots, x_n, x_1, \ldots, x_j$ są większe lub równe $1$ . Warunek (2) implikuje wobec tego równość

$ \sum_{i=1}^n (x_i-1)^2 = 0. $

Zatem $x_1 = x_2 = \ldots = x_n= 1$ . Układ liczb $(x_1,\ldots,x_n) = (1,\ldots,1)$ spełnia układ równań (1) i jest jego jedynym rozwiązaniem.