XLVI OM - I - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLVI OM, 1994-1995

Etap:

Czworokąt o bokach $a$ , $b$ , $e$ , $d$ jest wpisany w okrąg o promieniu $R$ . Wykazać, że jeżeli $a^2 + b^2 + c^2 + d^2= 8R^2$ , to w czworokącie tym jeden z kątów jest prosty lub przekątne są prostopadłe.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że żaden z kątów wewnętrznych rozważanego czworokąta $ABCD$ nie jest prosty; należy wykazać, że wówczas $AC \bot BD$ . Czworokąt jest wpisany w okrąg, a zatem $|\measuredangle DAB| + | \measuredangle BCD| = 180^\circ$ . Nie tracąc ogólności przyjmijmy, że kąt $DAB$ jest ostry, a kąt $BCD$ jest rozwarty. Wobec tego średnica $CE$ okręgu opisanego na trójkącie $BCD$ przecina bok $BD$ ; stąd zaś wynika, że punkty $A$ i $E$ leżą po tej samej stronie prostej $BD$ (rysunek 1); zatem kąty wpisane $DAB$ i $DEB$ , oparte na łuku $BCD$ , mają jednakową miarę:

$ | \measuredangle DEB| = | \measuredangle DAB | = \alpha < 90^\circ. $

Punkt $A$ nie pokrywa się z $E$ (gdyby się pokrywał, kąty $ABC$ i $CDA$ byłyby proste, wbrew uczynionemu założeniu). Natomiast kąty $EBC$ i $CDE$ oczywiście są proste, więc na mocy twierdzenia Pitagorasa

$ |EB|^2 + |BC|^2 = |CE|^2 = 4R^2, \quad |CD|^2 + |DE|^2 = |CE|^2 = 4R^2, $

i w myśl warunku zadania

$ |AB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DA|^2 = 8R^2 = |EB|^2 + |BC|^2 + |CD|^2 + |DE|^2. $

Stąd

$ |AB|^2 + |AD|^2 = |EB|^2 + |ED|^2. $

Do trójkątów $ABD$ i $EBD$ stosujemy wzór Carnota:

$ |AB|^2 + |AD|^2-|BD|^2 = 2 \cdot |AB| \cdot |AD| \cdot \cos \alpha, $

$ |EB|^2 + |ED|^2-|BD|^2 = 2 \cdot |EB| \cdot |ED| \cdot \cos \alpha. $

Lewe strony otrzymanych równości są równe; a ponieważ kąt $\alpha$ jest ostry, zatem $\cos \alpha \ne 0$ i z przyrównania prawych stron wynika równość iloczynów $|AB| \cdot |AD|$ oraz $|EB| \cdot |ED|$ . Stąd

$ \textrm{pole}(ABD) = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AD| \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot |EB| \cdot |ED| \cdot \sin \alpha = \textrm{pole}(EBD); $

to znaczy, że punkty $A$ i $E$ leżą w jednakowej odległości od prostej $BD$ (po tej samej jej stronie); tak więc $AE||BD$ . Jednocześnie $AE \bot AC$ (kąt $CAE$ , oparty na średnicy $CE$ , jest prosty). Zatem, ostatecznie, $AC \bot BD$ .