XLVI OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLVI OM, 1994-1995

Etap:

Dane są liczby dodatnie $a$ , $b$ . Wykazać równoważność zdań:

$ (1) \qquad \sqrt{a} + 1 > \sqrt{b}, $

$ (2) \qquad ax + \frac{x}{x-1} \quad \text{dla każdego } x>1. $

Rozwiązanie

Załóżmy prawdziwość zdania (2). Podstawiając $x = 1+\frac{1}{\sqrt{a}}$ otrzymujemy nierówność

$ a\left(1 + \frac{1}{\sqrt{a}}\right) + \left(1 + \frac{1}{\sqrt{a}}\right)\sqrt{a} > b, $

czyli $a + \sqrt{a} + \sqrt{a} + 1 > b$ , czyli jeszcze inaczej:

$ (\sqrt{a}+1)^2 > b. $

Ponieważ $b$ jest liczbą dodatnią, wynika stąd warunek (1).

Na odwrót, z warunku (1) wyprowadzamy (2), jak następuje. Niech $x$ będzie dowolną liczbą większą od $1$ . Oznaczmy różnicę $x - 1$ przez $t$ ; jest to liczba dodatnia. Przekształcamy lewą stronę nierówności w warunku (2):

$ \begin{split} ax + \frac{x}{x-1} = & a(t + 1)+ \frac{t+1}{t} = \frac{at^2+at + t + 1}{t} =\\ = & \frac{(t\sqrt{a}-1)^2}{t} + (\sqrt{a} + 1)^2 \geq (\sqrt{a}+1)^2. \end{split} $

Jeśli spełniony jest warunek (1), to liczba $(\sqrt{a}+1)^2$ jest większa od $b$ , więc na mocy powyższego oszacowania wartość wyrażenia $ax + \frac{x}{x-1}$ jest większa od $b$ . Liczba $x > 1$ była wybrana dowolnie; mamy więc zdanie (2).

Wykazane implikacje (2) $\Rightarrow$ (1) oraz (1) $\Rightarrow$ (2) składają się na dowód żądanej równoważności.