XLVI OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XLVI OM, 1994-1995

Etap:

Dana jest prosta $k$ oraz leżące na niej trzy różne punkty. Każdy z nich jest początkiem pary półprostych; wszystkie te półproste leżą w jednej półpłaszczyźnie o krawędzi $k$ . Każda z tych par półprostych wyznacza z każdą inną czworokąt. Dowieść, że jeśli w dwa z tych czworokątów można wpisać okrąg, to również w trzeci można wpisać okrąg.

Rozwiązanie

Oznaczmy trzy dane punkty przez $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ . Dla $i = 1,2,3$ oznaczmy przez $p_i$ , $q_i$ dwie dane półproste o wspólnym początku $A_i$ , a przez $l_i$ - dwusieczną utworzonego przez nie kąta. Te dwusieczne przecinają się (parami) w punktach $O_1$ , $O_2$ , $O_3$ :

$ \{O_1\} = l_2 \cap l_3, \quad \{O_2\} = l_3 \cap l_1, \quad \{O_3\} = l_1 \cap l_2 $

(rysunek 5). Przyjmijmy ponadto oznaczenia (dla $i,j \in \{1,2,3\}, i \ne j$ ):

$h_i$ - odległość punktu $O_i$ od prostej $k$ ,
$O_i'$ - rzut punktu $O_i$ na prostą $k$ ,
$r_{ij}$ - odległość punktu $O_i$ od półprostej $p_j$ ,
$T_{ij}$ - rzut punktu $O_i$ na półprostą $p_j$ .

Punkt $A_3$ jest środkiem jednokładności, która punkty $O_1$ , $O_1'$ , $T_{13}$ odwzorowuje odpowiednio na punkty $O_2$ , $O_2'$ , $T_{23}$ . Wynika stąd proporcja $|O_1T_{13}| \colon |O_2T_{23}| = |O_1O_1'| \colon |O_2O_2'|$ , czyli

$ \frac{r_{13}}{r_{23}}= \frac{h_1}{h_2}. $

Przez cykliczne przesunięcie numerów $1, 2, 3$ otrzymujemy (analogicznie):

$ \frac{r_{21}}{r_{31}}= \frac{h_2}{h_3} \quad \textrm{oraz} \quad \frac{r_{32}}{r_{12}}= \frac{h_3}{h_1}. $

Mnożąc stronami te trzy proporcje dostajemy po prawej stronie jedynkę, a po lewej - ułamek, którego licznik musi być wobec tego równy mianownikowi:

$ (1) \qquad \quad r_{13}r_{21}r_{32} = r_{23}r_{31}r_{12}. $

Zauważmy teraz, że jeżeli w czworokąt wyznaczony przez pary półprostych $p_1$ , $q_1$ oraz $p_2$ , $q_2$ da się wpisać okrąg, to jego środek leży zarówno na dwusiecznej $l_1$ , jak i na dwusiecznej $l_2$ . Środkiem tym jest więc punkt $O_3$ , a promień jest równy obu odległościom $r_{31} = |O_3T_{31}|$ oraz $r_{32} = |O_3T_{32}|$ ; tak więc $r_{31} = r_{32}$ .

Na odwrót, jeśli zachodzi równość $r_{31} =r_{32}$ , to punkt $O_3$ jest środkiem okręgu stycznego do półprostych $p_1$ , $q_1$ , $p_2$ , $q_2$ , a więc wpisanego w rozważany czworokąt. Zatem równość $r_{31} = r_{32}$ jest warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia takiego okręgu.

I znów prżez analogię (przez cykliczne przesunięcie numerów) wnosimy, że w czworokąt wyznaczony przez pary półprostych $p_2$ , $q_2$ oraz $p_3$ , $q_3$ da się wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $r_{12} = r_{13}$ , natomiast w czworokąt wyznaczony przez pary półprostych $p_3$ , $q_3$ oraz $p_1$ , $q_1$ da się wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy $r_{23}= r_{21}$ .

Zadanie sprowadza się więc do wykazania, że jeżeli zachodzą dwie spośród równości $r_{12}=r_{13}$ , $r_{23} = r_{21}$ , $r_{31} = r_{32}$ , to zachodzi także i trzecia. Ta implikacja jest zaś natychmiastowym wnioskiem z uzyskanej powyżej równości (1).