XLVI OM - I - Zadanie 12

Zawody matematyczne:

XLVI OM, 1994-1995

Etap:

Ciąg $(x_n)$ jest określony następująco:

$ x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_n = \frac{2n-3}{2n} \cdot x_{n-1} \quad \text{ dla } n=2,3,4,\ldots . $

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ zachodzi nierówność

$ x_1 + x_2 + \ldots + x_n < 1. $

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę ciąg liczb dodatnich $(y_n)$ określony, jak następuje:

$ y_n= (2n-1)x_n \quad \textrm{dla} \quad n= 1,2,3,\ldots . $

Podany wzór rekurencyjny dla ciągu $(x_n)$ implikuje analogiczny wzór dla ciągu $(y_n)$ :

$ y_n = (2n-1) \cdot \frac{2n-3}{2n} \cdot x_{n-1}= \frac{(2n-1)(2n-3)}{2n} \cdot \frac{y_{n-1}}{2(n-1)-1}, $

czyli

$ (1) \qquad \quad y_n = \frac{2n-1}{2n} \cdot y_{n-1} \quad \textrm{dla} \quad n=2,3,4, \ldots. $

Przyjmijmy dodatkowo $y_0 = 1$ . Uzyskany wzór rekurencyjny jest wówczas słuszny także dla $n= 1$ . Zauważmy teraz, że

$ (2) \qquad \quad y_{n-1}-y_n=\frac{2n}{2n-1} \cdot y_n-y_n=\frac{y_n}{2n-1} = x_n \quad \textrm{dla} \quad n=1,2,3,\ldots. $

Stąd

$ (3) \qquad \quad x_1+x_2 + \ldots + x_n = (y_0-y_1) + (y_1-y_2) + \ldots +(y_{n-1} - y_n) = y_0 - y_n = 1 - y_n < 1 $

- co było do wykazania.