XLVI OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLVI OM, 1994-1995

Etap:

Wielomian $P(x)$ ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli liczba $P(5)$ dzieli się przez 2, a liczba $P(2)$ dzieli się przez 5, to liczba $P(7)$ dzieli się przez 10.

Rozwiązanie

Dowód opiera się na spostrzeżeniu, że jeśli $P(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n$ jest wielomianem o współczynnikach całkowitych, to dla każdej pary różnych liczb całkowitych $u$ , $v$ różnica $P(u) - P(v)$ jest podzielna przez różnicę $u-v$ . Istotnie:

$<br /> P(u)-P(v) = a_1(u-v) + a_2(u^2-v^2) + \ldots + a_n(u^n-v^n),<br />$

a każda z różnic $u^k - v^k$ rozkłada się na czynniki:

$<br /> u^k-v^k = (u-v)(u^{k-1}v^0 + u^{k-2}v^1+ \ldots + u^0 v^{k-1}).<br />$

Przyjmując w szczególności $u = 7$ , $v = 5$ widzimy, że różnica $P(7)-P(5)$ dzieli się przez $2$ ; przyjmując następnie $u = 7$ , $v = 2$ stwierdzamy, że różnica $P(7)-P(2)$ dzieli się przez $5$ . Stąd, wobec warunków danych w założeniu zadania, wnosimy, że liczba $P(7)$ dzieli się zarówno przez $2$ , jak i przez $5$ . A ponieważ liczby $2$ i $5$ są względnie pierwsze, zatem liczba $P(7)$ dzieli się przez iloczyn $2 \cdot 5$ , czyli przez $10$ .