XLVI OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLVI OM, 1994-1995

Etap:

W sześciokącie wypukłym $ABCDEF$ zachodzą następujące równości: $|AB| = |BC|$ , $|CD| = |DE|$ , $|EF| = |FA|$ . Wykazać, że proste zawierające wysokości trójkątów $BCD$ , $DEF$ i $FAB$ poprowadzone odpowiednio z wierzchołków $C$ , $E$ , $A$ przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia:

$k_1$ - okrąg o środku $D$ i promieniu $|DC| = |DE|$ ;
$k_2$ - okrąg o środku $F$ i promieniu $|FE| = |FA|$ ;
$k_3$ - okrąg o środku $B$ i promieniu $|BA| = |BC|$ .

Okręgi $k_2$ i $k_3$ przecinają się w punkcie $A$ ; oznaczmy drugi punkt ich przecięcia przez $A'$ (por. Uwaga 2); podobnie, oznaczmy przez $C'$ drugi (oprócz $C$ ) punkt przecięcia okręgów $k_3$ i $k_1$ , a przez $E'$ - drugi (oprócz $E$ ) punkt przecięcia okręgów $k_1$ i $k_2$ (rysunek 7). Punkty $A$ i $A'$ są położone symetrycznie względem prostej przechodzącej przez środki $F$ i $B$ okręgów $k_2$ i $k_3$ ; zatem $AA' \bot FB$ . To znaczy, że prosta $AA'$ zawiera wysokość trójkąta $FAB$ , poprowadzoną z wierzchołka $A$ ; jest więc jedną z trzech prostych, których dotyczy teza zadania. Pozostałe dwie proste, o które chodzi, to - analogicznie - proste $CC'$ i $EE'$ .

Prosta $AA'$ jest osią potęgową pary okręgów $k_2$ , $k_3$ ; prosta $CC'$ jest osią potęgową pary $k_3$ , $k_1$ , a prosta $EE'$ - pary $k_1$ , $k_2$ . Wiadomo (por. Uwaga 1), że dla każdej trójki okręgów trzy osie potęgowe wyznaczone przez pary tych okręgów tworzą pęk prostych przecinających się w jednym punkcie lub równoległych. W rozważanej sytuacji proste $AA'$ , $CC'$ , $EE'$ , jako prostopadłe odpowiednio do boków $FB$ , $BD$ , $DF$ trójkąta $DFB$ , nie mogą być równoległe - a zatem przecinają się w jednym punkcie. Dowód jest zakończony.

Uwaga 1. Dla Czytelników, którzy nie są dość oswojeni z twierdzeniem o współpękowości osi potęgowych przedstawimy szkicowo jego dowód, wraz z określeniami użytych pojęć.

Niech $P$ będzie punktem leżącym w płaszczyźnie okręgu $k$ i niech $l$ będzie dowolną prostą przechodzącą przez punkt $P$ i przecinającą okrąg $k$ w dwóch punktach $U$ i $V$ . Wartość iloczynu $|PU| \cdot |PV|$ zależy tylko od okręgu $k$ i punktu $P$ , nie zależy natomiast od wyboru prostej $l$ . [Uzasadnienie: przypuśćmy, że inna prosta $l'$ przecina okrąg $k$ w punktach $U'$ i $V'$ ; dobrze znana równość $|PU| \cdot |PV | = |PU'| \cdot |PV'|$ wynika z podobieństwa trójkątów $PU U'$ i $PV'V$ .]

Tę stałą wartość, wziętą ze znakiem plus, gdy punkt $P$ leży na zewnątrz okręgu $k$ , a ze znakiem ,,minus'', gdy $P$ leży wewnątrz $k$ , nazywamy potęgą punktu $P$ względem okręgu $k$ ; jest ona równa różnicy $|OP|^2 - r^2$ , gdzie przez $O$ i $r$ został oznaczony środek i promień okręgu $k$ . [Uzasadnienie: niech $UV$ będzie średnicą zawartą w prostej $OP$ ; jeden z odcinków $PU$ , $PV$ ma długość $|OP|+r$ , a drugi $\pm (|OP| - r)$ ; znak ,,plus'' lub ,,minus'' w zależności od tego, czy punkt $P$ leży na zewnątrz $k$ , czy wewnątrz $k$ ; zatem (odpowiednio) $|PU| \cdot |PV| = \pm (|OP|^2-r^2)$ .]

Niech będą dane dwa okręgi o niepokrywających się środkach $O_1$ , $O_2$ i promieniach $r_1$ , $r_2$ . Jeżeli punkt $P$ ma równe potęgi względem obu tych okręgów, to ta sama własność przysługuje także punktowi $Q$ określonemu jako rzut prostokątny punktu $P$ na prostą $O_1O_2$ ; wynika to z równości $|O_1Q|^2-|O_2Q|^2 = |O_1P|^2-|O_2P|^2 = r_1^2-r_2^2$ ; przy tym na prostej $O_1O_2$ jest dokładnie jeden punkt $Q$ taki, że $|O_1Q|^2-|O_2Q|^2 = r_1^2 - r_2^2$ . Stąd wniosek, że zbiór punktów o równych potęgach względem dwóch danych okręgów jest prostą prostopadłą do $O_1O_2$ ; nazywamy ją osią potęgową tej pary okręgów. Gdy okręgi przecinają się w dwóch punktach, wówczas każdy z tych punktów ma zerową potęgę względem obu okręgów, a więc oś potęgowa jest prostą przechodzącą przez punkty przecięcia. Gdy okręgi są styczne, oś potęgowa jest prostą styczną do nich obu w punkcie ich styczności.

Jeżeli rozważamy dowolną trójkę okręgów $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ (o parami różnych środkach) i jeśli te środki nie są współliniowe, to oś potęgowa pary $k_1$ , $k_3$ przecina oś potęgową pary $k_2$ , $k_3$ . Punkt przecięcia ma jednakową potęgę względem wszystkich trzech okręgów, a więc leży też na osi potęgowej pary $k_1$ , $k_2$ . Jeśli natomiast środki okręgów $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ są współliniowe, to każda z tych trzech osi jest prostopadła do prostej przechodzącej przez środki. Stąd teza twierdzenia: trzy rozważane osie potęgowe albo przecinają się w jednym punkcie albo są równoległe.

Uwaga 2. W treści zadania jest mowa o trójkątach $BCD$ , $DEF$ , $FAB$ ; należy stąd wnosić, że każdy z kątów $BCD$ , $DEF$ , $FAB$ jest mniejszy od kąta półpełnego. Wszelako rozumowanie pozostaje w mocy także w przypadku, gdy któryś z tych kątów jest półpełny (i odpowiedni trójkąt degeneruje się do odcinka; przez ,,prostą zawierającą wysokość'' należy wówczas rozumieć prostą prostopadłą do owego odcinka, przechodzącą przez odpowiedni wierzchołek). Dwa spośród okręgów $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ są wtedy styczne; ale ich oś potęgowa nadal jest prostą zawierającą wysokość (w sprecyzowanym przed chwilą sensie), więc dalsze rozumowanie nie wymaga żadnych modyfikacji.