XLVI OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLVI OM, 1994-1995

Etap:

Dane są liczby niewymierne dodatnie $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , przy czym $a+b = 1$ . Udowodnić, że $c+d = 1$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi równość $[na] +[nb] = [nc] + [nd]$ .

Uwaga: $[x]$ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $x$ .

Rozwiązanie

Weźmy dowolną liczbę naturalną $n \geq 1$ . W myśl określenia symbolu $[x]$ ,

$ [na] \leq na < [na] + 1, \quad [nc] \leq nc < [nc] + 1, $

$ [nb] \leq nb < [nb]+ 1, \quad [nd] \leq nd < [nd] + 1. $

Iloczyny $na$ , $nb$ , $nc$ , $nd$ nie mogą być liczbami całkowitymi (bo liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ są z założenia niewymierne), a więc w żadnym z wypisanych związków nie może zachodzić równość. Dodając nierówności w lewym ,,słupku'' i w prawym ,,słupku'' (i korzystając z założenia, że $a + b=1$ ) otrzymujemy wobec tego zależności

$ (1) \qquad \quad k_n<n<k_n + 2, \quad l_n < n(c + d)<l_n + 2, $

gdzie

$ k_n = [na] + [nb], \quad l_n = [nc] + [nd]. $

Liczby $n$ oraz $k_n$ są całkowite, więc pierwsza z nierówności podwójnych (1) implikuje równość $n = k_n + 1$ .

Jeśli teraz $c + d = 1$ , to liczba $l_n$ , podobnie jak $k_n$ , musi (na mocy drugiej pary nierówności (1)) spełniać równość $n = l_n + 1$ ; tak więc $k_n = l_n( = n-1)$ dla $n = 1,2,3,\ldots$ .

Na odwrót, zakładając, że $k_n = l_n$ dla $n = 1,2,3,\ldots$ , otrzymujemy z drugiej pary związków (1) nierówność podwójną

$ \frac{k_n}{n} < c+d < \frac{k_n+2}{n} \quad \textrm{dla} \quad n=1,2,3,\ldots; $

a ponieważ $k_n = n - 1$ , zatem

$ 1-\frac{1}{n} < c+d < 1+ \frac{1}{n} \quad \textrm{dla} \quad n=1,2,3,\ldots. $

Jedyną wartością sumy $c + d$ spełniającą ten nieskończony układ nierówności podwójnych jest liczba $1$ .

Wykazaliśmy więc żądaną równoważność:

$ (c + d=1) \Longleftrightarrow (k_n = l_n \quad \textrm{dla} \quad n = 1,2,3,\ldots ). $