XLVI OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XLVI OM, 1994-1995

Etap:

Liczby dodatnie $x_l, x_2, \ldots , x_n$ spełniają warunek

$ \sum_{i=1}^n x_i \leq \sum_{i=1}^n x_i^2 $

Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej $t$ większej od 1 zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^n x_i^t \leq \sum_{i=1}^n x_i^{t+1} $

Rozwiązanie

Oznaczmy krótko:

$ (1) \qquad \quad f(t) = \sum_{i=1}^n x_i^{t+1} - \sum_{i=1}^n x_i^t \quad \textrm{dla} \quad t \geq 1. $

Wiedząc, że $f(1) \geq 0$ , mamy udowodnić, że $f(t) \geq 0$ dla $t > 1$ . W tym celu oczywiście wystarczy wykazać, że

$ (2) \qquad \quad f(t) \geq f(1) \quad \textrm{dla} \quad t>1. $

Ta zaś nierówność wynika z następującego przekształcenia:

$ f(t)-f(1) = \sum_{i=1}^n \left( (x_i^{t+1} - x_i^t) - (x_i^2 - x_i) \right) = \sum_{i=1}^n x_i (x_i-1)(x_i^{t-1} -1). $

Dla każdego numeru $i = 1,\ldots,n$ i dla każdej wartości $t>1$ obie różnice w nawiasach są liczbami dodatnimi, obie są liczbami ujemnymi, lub obie są równe zeru. Uzyskana suma jest więc liczbą nieujemną; nierówność (2) jest wykazana.