XLVI OM - II - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLVI OM, 1994-1995

Etap:

Okręgi wpisane w ściany $ABC$ i $ABD$ czworościanu $ABCD$ są styczne do krawędzi $AB$ w tym samym punkcie. Wykazać, że punkty styczności tych okręgów z krawędziami $AC$ , $BC$ oraz $AD$ , $BD$ leżą na jednym okręgu.

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że okrąg wpisany w ścianę $ABC$ jest styczny do krawędzi $AC$ , $BC$ i $AB$ odpowiednio w punktach $P$ , $Q$ , $T$ , a okrąg wpisany w ścianę $ABD$ jest styczny do krawędzi $AD$ , $BD$ i $AB$ odpowiednio w punktach $R$ , $S$ , $T$ (ten sam punkt $T$ , zgodnie z założeniem). Mamy następujące równości odcinków stycznych:

$ (1) \qquad \quad |AP| = |AT| = |AR|, \quad |BQ| = |BT| = |BS|, $

$ (2) \qquad |CP| = |CQ|, \quad |DR| = |DS|. $

Jeżeli punkt $T$ jest środkiem krawędzi $AB$ , to trójkąty $ABC$ i $ABD$ są równoramienne, a proste $PQ$ i $RS$ są równoległe do prostej $AB$ ; punkty $P$ i $Q$ są położone symetrycznie względem płaszczyzny przechodzącej przez $T$ i prostopadłej do $AB$ , punkty $R$ i $S$ także są położone symetrycznie względem tej płaszczyzny, a zatem odcinki $PQ$ i $RS$ są podstawami trapezu równoramiennego, na którym daje się opisać okrąg.

W dalszym ciągu zakładamy, że punkt $T$ nie jest środkiem krawędzi $AB$ ; nie tracąc ogólności przyjmijmy, że $|AT| > |BT|$ . Żadna z prostych $PQ$ i $RS$ nie jest równoległa do $AB$ . Punkty $A$ , $B$ , $P$ , $Q$ leżą w płaszczyźnie ściany $ABC$ , więc prosta $PQ$ przecina prostą $AB$ ; oznaczmy punkt przecięcia przez $U$ . Analogicznie, punkty $A$ , $B$ , $R$ , $S$ leżą w płaszczyźnie ściany $ABD$ , więc prosta $RS$ przecina prostą $AB$ ; oznaczmy punkt przecięcia przez $V$ .

Punkty $U$ i $V$ leżą na półprostej $AB^\to$ , poza odcinkiem $AB$ ; wobec tego

$ (3) \qquad |AU| = |AB| + |BU| \quad \textrm{oraz}\quad |AV| = | AB| + |BV|. $

(Rysunek 10 przedstawia usytuowanie rozważanych punktów i prostych oddzielnie na płaszczyźnie $ABC$ i na płaszczyźnie $ABD$ .)

Na mocy twierdzenia o odcinkach stycznych i siecznych (zastosowanego do okręgów wpisanych w trójkąty $ABC$ i $ABD$ ) mamy równości:

$ (4) \qquad |UP|\cdot |UQ| = |UT|^2, \quad |VR|\cdot |VS| = |VT|^2. $

Zastosujmy teraz twierdzenie Menelausa do trójkąta $ABC$ przeciętego prostą $PQ$ oraz do trójkąta $ABD$ przeciętego prostą $RS$ :

$ \frac{|AU|}{|UB|} \cdot \frac{|BQ|}{|QC|} \cdot \frac{|CP|}{|PA|} =1 \quad \textrm{oraz} \quad \frac{|AV|}{|VB|} \cdot \frac{|BS|}{|SD|} \cdot \frac{|DR|}{|RA |} =1. $

Wobec związków (2) i (1) dostajemy stąd proporcje

$ \frac{|AU|}{|BU|}=\frac{|AP|}{|BQ|}=\frac{|AT|}{|BT|} \quad \textrm{oraz} \quad \frac{|AV|}{|BV|}=\frac{|AR|}{|BS|}=\frac{|AT|}{|BT|}. $

Zastępując $|AU|$ i $|AV|$ przez prawe strony wzorów (3) otrzymujemy równania, z których obliczamy:

$ (5) \qquad \quad |BU|= \frac{|AB| \cdot |BT|}{|AT|-|BT|} \quad \textrm{oraz} \quad |BV|= \frac{|AB| \cdot |BT|}{|AT|-|BT|}. $

Zatem $|BU| = |BV|$ . Stąd wniosek, że punkt $U$ pokrywa się z $V$ ; jest więc punktem przecięcia prostych $PQ$ i $RS$ .

Para prostych przecinających się wyznacza płaszczyznę. Tak więc punkty $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ leżą na jednej płaszczyźnie. Skoro zaś punkty $U$ i $V$ pokrywają się, zatem ze związków (4) otrzymujemy równość $|UP| \cdot |UQ| = |UR| \cdot |US|$ . Wynika z niej, że punkty $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ leżą na jednym okręgu.

Uwaga 1. Twierdzenie Menelausa zostało wykorzystane jedynie do wyprowadzenia równości (5); nie jest ono jednak do tego niezbędne. Proponujemy Czytelnikom znalezienie innych uzasadnień wzorów (5).

Uwaga 2. Doszedłszy do wniosku, że punkty $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ są współpłaszczyznowe, można rozumować w sposób następujący: przez środek okręgu $PQT$ prowadzimy prostą prostopadłą do płaszczyzny $ABC$ , a przez środek okręgu $RST$ prowadzimy prostą prostopadłą do płaszczyzny $ABD$ . Proste te leżą w jednej płaszczyźnie (prostopadłej do $AB$ i przechodzącej przez punkt $T$ ), a przy tym nie są równoległe, zatem przecinają się. Z równości (1) łatwo wynika, że punkt ich przecięcia jest jednakowo odległy od punktów $P$ , $Q$ , $T$ , $R$ , $S$ - jest więc środkiem sfery, na której leżą te punkty. Sfera ta w przecięciu z płaszczyzną $PQRS$ daje poszukiwany okrąg.