XLVI OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XLVI OM, 1994-1995

Etap:

Kwadrat o boku długości $n$ dzielimy na $n^2$ kwadratów jednostkowych. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $n$ , dla których taki kwadrat mozna pociąć wzdłuż linii tego podziału na kwadraty, z których każdy ma bok długości 2 lub 3.

Rozwiązanie

Jeśli $n$ jest liczbą parzystą, to kwadrat o wymiarach $n \times n$ można pociąć na kwadraty $2 \times 2$ . Przyjmijmy więc, że $n$ jest liczbą nieparzystą. Kwadrat $n \times n$ składa się z $n$ rzędów, po $n$ pól (kwadracików jednostkowych) w każdym rzędzie. Malujemy te rzędy na czarno i biało, na przemian (w ,,zebrę''). Wobec nieparzystości $n$ oba rzędy skrajne otrzymują jednakowy kolor - przyjmijmy, że czarny. Różnica między liczbą czarnych pól a liczbą białych pól w całej tak pomalowanej szachownicy wynosi $n$ .

Przypuśćmy, że podział na kwadraty $2 \times 2$ i $3 \times 3$ jest wykonalny. Każdy kwadrat $2 \times 2$ ma dwa pola białe i dwa czarne. Każdy kwadrat $3 \times 3$ ma trzy pola białe i sześć czarnych lub na odwrót. Różnica między liczbą czarnych pól a liczbą białych pól w kwadracie $2 \times 2$ wynosi $0$ , a w kwadracie $3 \times 3$ wynosi $3$ lub $-3$ . Dodając te wszystkie różnice (odpowiadające poszczególnym kwadratom podziału) otrzymujemy liczbę podzielną przez $3$ . Ale, jednocześnie, obliczona w ten sposób suma równa się różnicy między liczbą czarnych pól a liczbą białych pól w całej szachownicy, czyli równa się $n$ .

Wniosek: jeśli rozważany podział jest wykonalny, to liczba $n$ jest podzielna przez $2$ lub przez $3$ . Na odwrót, jeśli $n$ dzieli się przez $2$ lub przez $3$ , to kwadrat $n \times n$ daje się pociąć w żądany sposób (na same tylko kwadraty o wymiarach $2 \times 2$ lub o wymiarach $3 \times 3$ ).

Uwaga 1. Gdy $n$ dzieli się przez $6$ , to oczywiście można szachownicę pociąć zarówno na kwadraty $2 \times 2$ , jak i na kwadraty $3 \times 3$ . Ponadto możliwe są podziały ,,mieszane''; Czytelnik może przekonać się (jest to łatwe ćwiczenie), że jeśli $n$ jest liczbą większą od $6$ i podzielną przez $2$ lub przez $3$ , to kwadrat $n \times n$ daje się pociąć na kwadraty $2 \times 2$ i $3 \times 3$ , z wykorzystaniem obu rodzajów.