XLVI OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XLVI OM, 1994-1995

Etap:

III

Dla danej liczby naturalnej $n \geq 1$ wyznaczyć najmniejszą wartość wyrażenia

$ x_1 + \frac{x_2^2}{2} + \frac{x_3^3}{3} + \ldots + \frac{x_n^n}{n} $

gdzie $x_1, x_2, \ldots , x_n$ są liczbami dodatnimi spełniającymi warunek

$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n} = n. $

Rozwiązanie

Kluczem do rozwiązania jest nierówność

$ (1) \qquad \quad \frac{x^k}{k} + \frac{1}{x} \geq 1 + \frac{1}{k} \quad \textrm{dla} \quad x>0,\ k = 1,2,3,\ldots. $

Oto jej dowód: różnica między wyrażeniem po lewej stronie (1) i wyrażeniem po prawej stronie (1), pomnożona przez dodatni czynnik $kx$ , jest równa

$ (x^{k+1}+k)-(kx + x) = x(x^k-1) + k(1-x) = x(x-1) \sum_{i=0}^{k-1} x^i + k(1-x) = $

$ = (x-1) \left( \sum_{j=1}^k x^j-k \right) = (x-1) \sum_{j=1}^k (x^j-1) = \sum_{j=1}^k (x-1)(x^j-1). $

Ta suma jest nieujemna, bo wszystkie jej składniki są liczbami nieujemnymi.

Podstawiamy w (1) $x = x_k$ dla $k = 1,\ldots,n$ (gdzie $x_1,\ldots,x_n$ są danymi w zadaniu liczbami) i dodajemy uzyskane nierówności stronami:

$ \sum_{k=1}^n \frac{x_k^k}{k} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k} \geq \sum_{k=1}^n \left( 1 + \frac{1}{k} \right) = n + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}. $

Druga suma po lewej stronie ma wartość $n$ , zgodnie z warunkiem danym w założeniach. A zatem

$ \sum_{k=1}^n \frac{x_k^k}{k} \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}. $

Gdy $x_1 = \ldots = x_n = 1$ , nierówność ta staje się równością. Tak więc minimalna wartość badanego wyrażenia wynosi $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\ldots + \frac{1}{n}$ .

Uwaga 1. Wyjściową nierówność (1) można uzasadnić wieloma sposobami. Na przykład tak: średnia arytmetyczna układu $k+1$ liczb, z których jedna jest równa $x^k$ , a pozostałe są równe $1/x$ , jest nie mniejsza niż średnia geometryczna tych liczb:

$ \frac{1}{1+k} \left( x^k + \underbrace{\frac{1}{x} + \ldots + \frac{1}{x}}_k \right) \geq \left( x^k \cdot \underbrace{\frac{1}{x} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{x}}_k \right)^{1/(k+1)}=1; $

stąd $x^k + \dfrac{k}{x} \geq k+1$ , co jest równoważnym zapisem nierówności (1).

Można także w znanej nierówności Bernoulli'ego

$ (1 + a)^k \geq 1 + ka, $

zachodzącej dla wszystkich liczb $a \geq -1$ (oraz dla $k = 1,2,3,\ldots$ ), podstawić $a = x-1$ , otrzymując: $x^k \geq 1 + k(x - 1)$ . Stąd

$ \frac{x^k}{k} + \frac{1}{x} \geq \frac{1+k(x-1)}{k} + \frac{1}{x} = x+\frac{1}{x} + \frac{1}{k} -1 = 1+ \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 + \frac{1}{k} \geq 1+\frac{1}{k}. $

Można wreszcie potraktować lewą stronę (1) jako funkcję zmiennej $x$ przebiegającej przedział $(0;\ \infty)$ i przekonać się, że jej pochodna jest ujemna w przedziale $(0;\ 1)$ oraz dodatnia w $(1;\ \infty)$ , wobec czego dla $x = 1$ osiągana jest wartość minimalna, równa $1 + (1/k)$ .