XLV OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLV OM, 1993-1994

Etap:

Udowodnić, że układ równań

$ \begin{cases} a^2 - b = c^2 \\ b^2 - a = d^2 \end{cases} $

nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby całkowite $a,b,c,d > 0$ spełniają podany układ. Różnice $a^2 - c^2 = b$ oraz $b^2 - d^2 = a$ są wówczas liczbami dodatnimi. Zachodzą więc nierówności $a> c$ oraz $b> d$ , czyli $a \geq c +1 \geq 2$ oraz $b \geq d +1 \geq 2$ . Stąd

$ b = a^2-c^2 \geq a^2-(a-1)^2 = 2a-1 $

oraz

$ a = b^2-d^2 \geq b^2 -(b-1)^2 = 2b-1. $

Dodając te nierówności stronami dostajemy zależność $a + b \geq 2a + 2b - 2$ , czyli $a + b \leq 2$ . Jest to sprzeczność z uzyskanymi wcześniej oszacowaniami $a \geq 2$ oraz $b\geq 2$ . Dowodzi ona, że rozważany układ równań nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich.