XLV OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLV OM, 1993-1994

Etap:

Ciąg funkcji $f_0, f_1, f_2, \ldots$ jest określony następująco:

$ f_0(x) = |x| \quad \text{ dla wszystkich } x \in \mathbb{R}, $

$ f_{n+1}(x) = |f_n(x)-2| \quad \text{ dla } n=O,1,2, \ldots \text{ oraz wszystkich } x \in \mathbb{R}. $

Dla każdej liczby naturalnej $n$ rozwiązać równanie $f_n(x) = 1$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy symbolem $M_k$ zbiór wszystkich liczb całkowitych nieparzystych z przedziału $\langle 1; 2k+1 \rangle$ . Weźmy dowolne liczby całkowite $m \geq 1$ , $k \geq 0$ . Zgodnie z określeniem rozważanego ciągu funkcji, następujące zdania (1), (2), (3) są kolejno równoważne:

$ (1) \qquad f_m(x) \in M_k; $

$ (2) \qquad |f_{m-1}(x)-2| \in M_k; $

$ (3) \qquad f_{m-1}(x)-2 \in M_k \quad \textrm{lub} \quad 2-f_{m-1}(x) \in M_k. $

Wszystkie funkcje $f_n$ przyjmują wyłącznie wartości nieujemne; wynika to natychmiast z ich określenia rekurencyjnego. Zatem jedyną liczbą ze zbioru $M_k$ , która może być równa różnicy $2 -f_{m-1}(x)$ , jest liczba $1$ . Wobec tego drugi człon alternatywy (3) jest równoważny temu, że $f_{m-1}(x) = 1$ . Ciąg kolejno równoważnych zdań (1), (2), (3) może więc być kontynuowany następująco:

$ (4) \qquad f_{m-1}(x)-2 \in M_k \quad \textrm{lub} \quad f_{m-1}(x) = 1; $

$ (5) \qquad f_{m-1}(x)\in M_{k+1}. $

Otrzymaliśmy w ten sposób równoważność między warunkami (1) i (5):

$ f_m(x) \in M_k \Longleftrightarrow f_{m-1}(x) \in M_{k+1}. $

Ustalmy $n$ . Z uzyskanej równoważności wnioskujemy kolejno, że

$ \begin{split} f_n(x)=1 &\Longleftrightarrow f_n(x)\in M_0 \Longleftrightarrow f_{n-1}(x)\in M_1 \Longleftrightarrow f_{n-2}(x)\in M_2 \Longleftrightarrow \\ & \Longleftrightarrow \ldots \Longleftrightarrow f_0(x) \in M_n \Longleftrightarrow |x| \in M_n \end{split} $

(bo $f_0(x) = |x|$ , z definicji funkcji $f_0$ .) Warunek $|x| \in M_n$ oznacza oczywiście, że $x$ jest liczbą nieparzystą z przedziału $\langle-2n- 1;2n +1\rangle$ .

Wniosek: Dla dowolnie ustalonej liczby naturalnej $n$ , zbiór rozwiązań równania $f_n(x) = 1$ tworzą wszystkie liczby całkowite nieparzyste z przedziału $\langle-2n- 1;2n +1\rangle$ .