XLV OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XLV OM, 1993-1994

Etap:

Dany jest okrąg o środku $O$ , punkt $A$ wewnątrz tego okręgu oraz cięciwa $PQ$ , nie będąca średnicą, przechodząca przez $A$ . Proste $p$ i $q$ są styczne do rozważanego okręgu odpowiednio w punktach $P$ i $Q$ . Prosta $l$ przechodząca przez punkt $A$ i prostopadła do $OA$ przecina proste $p$ i $q$ odpowiednio w punktach $K$ i $L$ . Wykazać, że $|AK|=|AL|$ .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od spostrzeżenia, że punkty $P$ i $K$ leżą po jednej stronie prostej $OA$ , a punkty $Q$ i $L$ leżą po drugiej jej stronie (niezależnie od tego, czy punkt $A$ leży na odcinku $PQ$ bliżej końca $P$ czy końca $Q$ ). Cięciwa $PQ$ danego okręgu nie jest jego średnicą, więc proste styczne $p$ i $q$ przecinają się. Oznaczmy punkt przecięcia przez $S$ .

Na trójkącie $OAK$ opisujemy okrąg $\omega_1$ . Na trójkącie $OAL$ opisujemy okrąg $\omega_2$ . Kąty $OAK$ i $OAL$ są z założenia proste, więc średnicami tych okręgów są (odpowiednio) odcinki $OK$ i $OL$ (rysunek 1).

Proste $p$ i $q$ , styczne do danego okręgu, są prostopadłe do jego promieni $OP$ i $OQ$ ; kąty $OPK$ i $OQL$ są więc proste. Zatem okrąg $\omega_1$ przechodzi przez punkt $P$ , a okrąg $\omega_2$ przechodzi przez punkt $Q$ . (W szczególnym przypadku, gdy punkt $A$ jest środkiem cięciwy $PQ$ i w konsekwencji punkty $K$ i $L$ pokrywają się, odpowiednio, z punktami $P$ i $Q$ -- nie można wprawdzie mówić o kątach $OPK$ i $OQL$ , ale konkluzja, że $P \in \omega_1$ , $Q \in \omega_2$ , jest oczywiście nadal słuszna.)

Kąty $OPA$ i $OKA$ są kątami wpisanymi w okrąg $\omega_1$ , opartymi na wspólnym łuku $OA$ (korzystamy tu z wcześniejszego spostrzeżenia, że punkty $P$ i $K$ leżą po tej samej stronie prostej $OA$ ). Mają więc te kąty jednakową rozwartość: $|\measuredangle OPA| = |\measuredangle OKA|$ ; podobnie $|\measuredangle OQA| = |\measuredangle OLA|$ (kąty wpisane w okrąg $\omega_2$ , oparte na wspólnym łuku $OA$ ). Zauważmy wreszcie, że