XLV OM - I - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLV OM, 1993-1994

Etap:

Udowodnić, że jeżeli wielomian $x^3 + ax^2 + bx + c$ ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste, to wielomian $x^3 + ax^2 + \frac{1}{4}(a^2 + b)x +\frac{1}{8}(ab - c)$ także ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

Rozwiązanie

Oznaczmy dane w zadaniu wielomiany przez $P(x)$ i $Q(x)$ :

$ P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, \quad Q(x) = x^3 + ax^2 + \frac{1}{4}(a^2 + b)x + \frac{1}{8}(ab - c). $

Zastępujemy w wielomianie $P(x)$ zmienną $x$ przez różnicę $2x - a$ i przekształcamy uzyskane wyrażenie:

$ \begin{split} P(2x - a) &= (2x - a)^3 + a(2x - a)^2 + b(2x - a) + c =\\ &= -8(-x^3 + ax^2- \frac{1}{4} (a^2 + b)x + \frac{1}{8}(ab-c)) = -8Q(-x). \end{split} $

Z otrzymanej tożsamości

$ (1) \qquad 8Q(-x) = -P(2x-a) $

natychmiast wynika, że jeśli liczba $\xi$ jest pierwiastkiem wielomianu $P(x)$ , to liczba $-\frac{1}{2}(\xi + a)$ jest pierwiastkiem wielomianu $Q(x)$ .

A zatem, jeżeli liczby $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ są trzema różnymi pierwiastkami wielomianu $P(x)$ , to liczby $-\frac{1}{2}(x_1 + a)$ , $-\frac{1}{2}(x_2 + a)$ , $-\frac{1}{2}(x_3 + a)$ są trzema różnymi pierwiastkami wielomianu $Q(x)$ .

{\kom Uwaga.} Pomysł, aby przekształcać wyrażenie $P(2x - a)$ nie wymaga żadnego ,,objawienia''. Sama postać wielomianów $P(x)$ i $Q(x)$ (a także i teza zadania \ldots) sugeruje, że - być może - istnieją stałe $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , dla których równość

$ (2) \qquad P(\alpha x + \beta) = \gamma Q(x) $

jest spełniona tożsamościowo (przy czym $\alpha \neq 0$ , $\gamma \neq 0$ ). Porównując współczynniki przy $x^3$ widzimy, że jeśli takie stałe istnieją, to $\gamma$ musi być równe $\alpha^3$ . Postulowana tożsamość (2) przybiera postać

$ P(\alpha x + \beta) = \alpha^3Q(x). $

Podstawiając wyrażenia określające wielomiany $P(x)$ i $Q(x)$ , i przyrównując współczynniki wielomianów otrzymanych po lewej i prawej stronie wzoru (2), uzyskujemy układ trzech równań z dwiema niewiadomymi ( $\alpha$ i $\beta$ ). Okazuje się, że - niezależnie od wartości danych stałych (,,parametrów'') $a$ , $b$ , $c$ - układ ten zawsze ma rozwiązanie $\alpha = -2$ , $\beta = -a$ (więc $\gamma = -8$ ); na ogół jest to jego jedyne rozwiązanie, ale dla niektórych szczególnych wartości stałych $a$ , $b$ , $c$ mogą istnieć jeszcze inne rozwiązania. Nie ma to jednak znaczenia: dla znalezionych wartości liczb $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ zawsze spełniona jest tożsamość (2); po zastąpieniu $x$ przez $-x$ przybiera ona postać (1).

Oczywiście, redagując rozwiązanie zadania, nikt nie ma obowiązku ,,tłumaczyć się'', skąd pomysł badania wyrażenia $P(2x-a)$ .