XLV OM - I - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XLV OM, 1993-1994

Etap:

Funkcja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ jest ciągła. Wykazać, że jeżeli dla każdej liczby rzeczywistej $x$ istnieje taka liczba naturalna $n$ , że $(\underbrace{f \circ \ldots \circ f}_{n})(x) = 1$ , to $f(1)=1$ .

Rozwiązanie

Symbolem $f^r$ będziemy oznaczali $r$ --tą iteratę funkcji $f$ , czyli $r$ -krotne złożenie (superpozycję) $f \circ f \circ \ldots \circ f$ .

Przypuśćmy, wbrew tezie, że $f(1) \neq 1$ . Niech $m$ będzie najmniejszą dodatnią liczbą naturalną, dla której zachodzi równość

$ (1) \qquad f^m(1) = 1 $

(taka liczba istnieje w myśl warunku zadania). Skoro $f(1) \neq 1$ , zatem $m \geq 2$ . Przyjmijmy $x_0 = 1$ i oznaczmy wartość $f(1)$ przez $x_1$ , wartość $f(x_1)$ przez $x_2$ , i dalej, indukcyjnie, wartość $f(x_i)$ przez $x_{i+1}$ (dla $i = 1,2,\ldots,m - 1$ ); wówczas $x_m = f^m(1) = 1$ . Otrzymujemy układ liczb rzeczywistych $x_0,x_1,\ldots,x_{m-1},x_m$ spełniający warunki

$ x_0 = x_m = 1, \quad x_{i+1} = f(x_i) \quad \textrm{dla } i = 0,1,\ldots ,m - 1. $

Niech $x_k$ będzie najmniejszą, a $x_l$ - największą spośród liczb $x_0,x_1, \ldots ,x_{m-1}$ . Zachodzą więc nierówności

$ (2) \qquad x_k \leq x_{k+1}, \quad x_l \geq x_{l+1} $

(faktycznie zachodzą tu nierówności ostre, bo liczby $x_0, x_1, \ldots, x_{m-1}$ są wszystkie różne, co wynika z określenia m jako minimalnej liczby spełniającej warunek (1); ale dla dalszego ciągu rozumowania nie ma to znaczenia - wystarczą słabe nierówności (2)).

Weźmy pod uwagę funkcję $g(x) = f(x) - x$ ; jest to funkcja ciągła. Przyjmuje ona w punktach $x_k$ i $x_l$ wartości

$ g(x_k) = f(x_k)-x_k = x_{k+1}-x_k \geq 0 $

oraz

$ g(x_l) = f(x_l)-x_l = x_{l+1}-x_l \leq 0; $

istnieje więc (na mocy własności Darboux) liczba $c \in \langle x_k; x_l \rangle$ , dla której zachodzi równość $g(c) = 0$ , czyli $f(c) = c$ . Stąd wynika, że

$ f^n(c) = c \quad \textrm{dla każdego $n$ naturalnego}. $

Skorzystajmy ponownie z warunku zadania, który mówi, że dla pewnego $n$ wartość $f^n(c)$ ma być równa $1$ . Otrzymujemy wniosek, że $c = 1$ . Równość $f(c) = c$ orzeka teraz, że $f(1) = 1$ - wbrew początkowemu przypuszczeniu - i tym samym dowodzi błędności tego przypuszczenia. Zatem, ostatecznie, $f(1)=1$ .