XLV OM - I - Zadanie 8

Zawody matematyczne:

XLV OM, 1993-1994

Etap:

Dane są takie liczby naturalne $a$ , $b$ , $c$ , że $a^3$ dzieli się przez $b$ , $b^3$ dzieli się przez $c$ , a $c^3$ dzieli się przez $a$ . Udowodnić, że liczba $(a+b+c)^{13}$ jest podzielna przez $abc$ .

Rozwiązanie

Liczba $(a + b + c)^{13}$ jest iloczynem trzynastu czynników, z których każdy równa się $a + b + c$ . Wymnażając te trzynaście identycznych wyrażeń otrzymamy sumę wielu (mianowicie $3^{13}$ ) składników postaci

$ (1) \qquad a^kb^mc^n; \quad k,m,n\geq 0 \ \textrm{całkowite,}\ k + m + n = 13. $

Wystarczy wykazać, że każdy taki składnik dzieli się przez iloczyn $abc$ . Jest to oczywiste, gdy żaden z wykładników $k$ , $m$ , $n$ nie jest zerem, bo wówczas $a^kb^mc^n = abc \cdot a^{k-1}b^{m-1}c^{n-1}$ . Pozostaje zająć się przypadkiem, gdy co najmniej jeden z tych wykładników równa się zeru.

Ponieważ układ założeń jest niezmienniczy względem cyklicznej zmiany oznaczeń ( $a \mapsto b \mapsto c \mapsto a$ ), nie tracimy ogólności zakładając, że $n = 0$ . Iloczyn (1) ma wtedy postać

$ (2) \qquad a^kb^m; \quad k,m\geq 0 \ \textrm{całkowite,}\ k + m = 13. $

Zadanie zostało sprowadzone do wykazania, że dla każdej takiej pary wykładników $k$ , $m$ liczba $a^kb^m$ dzieli się przez $abc$ .

Z podanych w zadaniu założeń wynika, że

$ a^9 \textrm{ dzieli się przez } c,\quad b^9 \textrm{ dzieli się przez } a. $

Liczbę postaci (2) możemy zapisać następująco jako iloczyn czterech czynników (pooddzielanych kropkami):

$ \begin{array}{lcl} \textrm{gdy}& k = 13 ,\ m = 0 &:\ a^kb^m = a \cdot a^3\cdot a^9\cdot 1;\\ \textrm{gdy}& 10\leq k \leq 12,\ 1\leq m \leq 3 &:\ a^kb^m = a\cdot b \cdot a^9 \cdot (a^{k-10}b^{m-1});\\ \textrm{gdy}& 1\leq k \leq 9,\ 4\leq m \leq 12 &:\ a^kb^m = a\cdot b \cdot b^3 \cdot (a^{k-1}b^{m-4});\\ \textrm{gdy}& k = 0 ,\ m = 13 &:\ a^kb^m = b^9 \cdot b\cdot b^3\cdot 1. \end{array} $

W każdym z powyższych przedstawień pierwszy czynnik dzieli się przez $a$ , drugi dzieli się przez $b$ , a trzeci dzieli się przez $c$ ; czwarty jest zaś pewną liczbą naturalną. Tak więc, w każdym przypadku, iloczyn $a^kb^m$ jest liczbą podzielną przez iloczyn $abc$ . W myśl poprzednich uwag, kończy to dowód.