XLV OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XLV OM, 1993-1994

Etap:

Liczby dodatnie $p$ i $q$ spełniają warunek $p+q=1$ . Wykazać, że dla dowolnych liczb naturalnych $m$ i $n$ zachodzi nierówność

$ (1 - p^m)^n +(1- q^n)^m \geq 1. $

Rozwiązanie

Wyobraźmy sobie szachownicę prostokątną mającą $m$ rzędów poziomych i $n$ rzędów pionowych. Przyjmijmy, że pola są kolorowane losowo: dla każdego pola prawdopodobieństwo pomalowania na biało wynosi $p$ , a prawdopodobieństwo pomalowania na czarno wynosi $q$ .

Ustalmy rząd pionowy $C$ . Prawdopodobieństwo tego, że wszystkie pola w rzędzie $C$ są białe, wynosi $p^m$ . Zatem prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jedno pole w rzędzie $C$ jest czarne, równa się $1 - p^m$ .

Mamy $n$ rzędów pionowych, i do każdego z nich odnosi się konkluzja poprzedniego zdania. Tak więc liczba $(1 - p^m)^n$ wyraża prawdopodobieństwo zdarzenia:

$ \mathcal{A} : \textrm{ każdy rząd pionowy zawiera co najmniej jedno czarne pole.} $

Weźmy pod uwagę zdarzenie przeciwne do $\mathcal{A}$ :

$ \mathcal{A'} : \textrm{ istnieje rząd pionowy z wszystkimi polami białymi.} $

Skoro, jak stwierdziliśmy przed chwilą, $P(\mathcal{A}) = (1-p^m)^n$ , zatem

$ P(\mathcal{A}') = 1-(1-p^m)^n. $

Do analogicznych wniosków dojdziemy rozważając zdarzenia:

$ \mathcal{B} : \textrm{ każdy rząd poziomy zawiera co najmniej jedno białe pole} $

oraz

$ \mathcal{B'} : \textrm{ istnieje rząd poziomy z wszystkimi polami czarnymi.} $

Są to zdarzenia wzajemnie przeciwne. Z uwagi na symetrię konfiguracji, ich prawdopodobieństwa dane są wzorami analogicznymi do uzyskanych dla zdarzeń $\mathcal{A}$ i $\mathcal{A}'$ :

$ P(\mathcal{B}) = (1-q^n)^m,\quad P(\mathcal{B}') = 1-(1-q^n)^m. $

Zauważmy teraz, że zdarzenia $\mathcal{A}'$ i $\mathcal{B}'$ nie mogą zajść jednocześnie; znaczyłoby to bowiem, że istnieje rząd pionowy cały biały oraz istnieje rząd poziomy cały czarny; pole na przecięciu tych rzędów musiałoby mieć oba kolory naraz, co nie jest możliwe. Suma prawdopodobieństw zdarzeń wzajemnie się wykluczających nie przekracza jedności: $P(\mathcal{A}')+P(\mathcal{B}') \leq 1$ . Podstawiając znalezione wartości $P(\mathcal{A}')$ i $P(\mathcal{B}')$ otrzymujemy oszacowanie

$ [1-(1-p^m)^n]+[1-(1-q^n)^m] \leq 1; $

po prostym przekształceniu:

$ (1-p^m)^n+(1-q^n)^m \geq 1 $

- a to jest właśnie nierówność dana do udowodnienia.