XLV OM - I - Zadanie 11

Zawody matematyczne:

XLV OM, 1993-1994

Etap:

Trójkąt o obwodzie $2p$ jest wpisany w koło o promieniu $R$ i opisany na kole o promieniu $r$ . Dowieść, że $p < 2(R + r)$ .

Rozwiązanie

Niech $ABC$ będzie rozważanym trójkątem; przyjmijmy zwykłe oznaczenia

$ a = |BC|,\ b=|CA|,\ c=|AB|;\ \alpha=|\measuredangle BAC|, $

zakładając (bez straty ogólności), że $a$ jest największym kątem tego trójkąta. Zatem $a \geq 60^\circ$ . Oznaczmy przez $I$ środek okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ , a przez $A'$ , $B'$ , $C'$ punkty styczności tego okręgu z bokami $BC$ , $CA$ , $AB$ .

Przyjmijmy ponadto

$ x = |AB'| = |AC'|, \ y=|BC'| = |BA'|, \ z = |CA'| = |CB'| $

(rysunek 5). Tak więc $a = y + z$ , $b = z + x$ , $c = x+y$ . Zauważmy teraz, że

$ x = |AB'| = r \cot(\alpha/2) \leq r \cot 30^\circ = \sqrt{3}r < 2r. $

Stąd, wobec oczywistego oszacowania $a \leq 2R$ , otrzymujemy nierówność

$ p = \frac{1}{2}(a + b + c) = x + y + z = a + x < a + 2r \leq 2R + 2r, $

którą mieliśmy udowodnić.

{\kom Uwaga:} Jak widać, zachodzi nierówność silniejsza od wymaganej:

$ p = a + x \leq a + \sqrt{3} r \leq 2R + \sqrt{3}r. $

Jest to faktycznie nierówność ostra, bo wykorzystane w niej oszacowania $x \leq \sqrt{3}r$ oraz $a\leq 2R$ nie mogą jednocześnie stać się równościami: pierwsze z nich przechodzi w równość tylko dla trójkąta równobocznego, a drugie - tylko dla trójkąta prostokątnego.