XLV OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLV OM, 1993-1994

Etap:

Wyznaczyć wszystkie wielomiany $P(x)$ stopnia co najwyżej piątego o współczynnikach rzeczywistych, mające tę własność, że wielomian $P(x) + 1$ jest podzielny przez $(x - 1)^3$ a wielomian $P(x) - 1$ jest podzielny przez $(x + 1)^3$ .

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że wielomian $P(x)$ spełnia podane warunki. Na mocy założenia, istnieją wielomiany $Q(x)$ i $R(x)$ , stopnia co najwyżej drugiego, spełniające dla wszystkich rzeczywistych wartości zmiennej $x$ równości

$ P(x) + 1 = (x-1)^3Q(x), \quad P(x)-1 = (x + 1)^3R(x). $

Współczynnik przy $x^2$ w każdym z wielomianów $Q(x)$ , $R(x)$ jest równy współczynnikowi przy $x^5$ w wielomianie $P(x)$ (nie wykluczamy możliwości, że jest on równy zeru). Wielomiany $Q(x)$ i $R(x)$ mają więc postać

$ Q(x) = ax^2 +bx + c, \quad R(x) = ax^2+px + q. $

Przekształcamy pierwszą z napisanych powyżej równości:

$ \begin{split} P(x) +1 &= (x^3 -3x^2 + 3x- 1)(ax^2 + bx + c) =\\ & = ax^5 + (b- 3a)x^4 + (c - 3b + 3a)x^3 +\\ &+ (-3c + 3b - a)x^2 + (3c -b)x-c. \end{split} $

Przekształcając drugą otrzymujemy, analogicznie,

$ \begin{split} P(x) -1 & = ax^5 + (p + 3a)x^4 + (q + 3p + 3a)x^3 + \\ & + (3q + 3p + a)x^2 + (3q+p)x + q. \end{split} $

Odejmując stronami uzyskane związki (drugi od pierwszego) dostajemy po lewej stronie wielkość stałą, równą $2$ . W takim razie wielomiany po prawych stronach powyższych związków muszą mieć równe współczynniki przy każdej z dodatnich potęg zmiennej $x$ , zaś ich wyrazy wolne muszą się różnić o $2$ :

$ \begin{split} b - 3a &= p+3a,\\ c - 3b + 3a &= q + 3p + 3a,\\ - 3c + 3b - a &= 3q + 3p+a,\\ 3c-b &= 3q+p,\\ -c &= q + 2. \end{split} $

Mamy więc układ $5$ równań z $5$ niewiadomymi. Z drugiego i piątego równania dostajemy zależność

$ 3b + 3p = 2c + 2, $

a z trzeciego i piątego -

$ 3b-3p = 2a-6. $

Stąd, przez dodanie i odjęcie stronami,

$ 3b = a + c - 2, \quad 3p = c - a + 4. $

Z pierwszego równania układu mamy $b - p = 6a$ . Tak więc $2a - 6 = 3(b - p) = 18a$ , skąd

$ {\def\arraystretch{2.5} \begin{array}{lll} a=-\dfrac{3}{8},&\quad b=\dfrac{1}{3}(a+c-2)=\dfrac{1}{3}c-\dfrac{19}{24},&\\ &\quad p=\dfrac{1}{3}(c-a+4)=\dfrac{1}{3}c+\dfrac{35}{24},&\quad q=-c-2. \end{array} } $

Podstawiając te wyrażenia do czwartego równania układu, wyznaczamy $c = - 1$ . Wobec tego

$ a=-\frac{3}{8},\quad b = -\frac{9}{8},\quad c = -1, \quad p=\frac{9}{8}, \quad q=-1. $

(Oczywiście eliminację niewiadomych można było prowadzić w dowolnej innej kolejności.)

Jeśli więc wielomian $P(x)$ istnieje, to musi on być dany każdym z następujących dwóch wzorów:

$ P(x) = (x-1)^3 \left(-\frac{3}{8}x^2 -\frac{9}{8}x-1 \right)-1, $

$ P(x) = (x+1)^3 \left(-\frac{3}{8}x^2 +\frac{9}{8}x-1 \right)+1. $

Po wymnożeniu otrzymujemy, z każdego z tych wzorów,

$ P(x) = -\frac{3}{8}x^5+\frac{10}{8}x^3-\frac{15}{8}x. $

Z postaci tych wzorów wynika zaś, że otrzymany wielomian istotnie spełnia postawione w zadaniu warunki.

Uwaga 1. Rozwiązując układ równań metodą eliminacji nie troszczyliśmy się o to, by w każdym kroku wypisać układ równoważny wyjściowemu. Dlatego w końcówce rozwiązania potrzebne było sprawdzenie, że istotnie oba postulowane wzory dają ten sam wielomian $P(x)$ .