XLV OM - II - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLV OM, 1993-1994

Etap:

Liczby $a_1, a_2, \ldots , a_n$ , $b_1, b_2, \ldots , b_n$ spełniają warunki:

$ \sum_{i=1}^n a_i = \prod_{i=1}^n a_i, \quad 0 < a_i \leq b_i \quad \text{ dla } i=1,2,\ldots,n. $

Udowodnić, że $\sum_{i=1}^n b_i \leq \prod_{i=1}^n b_i$ .

Rozwiązanie

Przyjmijmy

$ A_i=\prod_{j:j\neq i}a_j, \quad B_i=\prod_{j:j\neq i}b_j. $

(Te symbole oznaczają, odpowiednio, iloczyn wszystkich liczb $a_j$ oraz iloczyn wszystkich liczb $b_j$ o numerach $j$ różnych od $i$ .) Z założenia, że $a_j \leq b_j$ (dla wszystkich $j$ ) wynika, że $A_i \leq B_i$ (dla wszystkich $i$ ). W takim razie

$ (1) \qquad \sum_{i=1}^n \frac{1}{A_i} \geq \sum_{i=1}^n \frac{1}{B_i}. $

Pozostaje zauważyć, że

$ \frac{1}{A_i}=\frac{a_i}{\displaystyle \prod_{j=1}^n a_j}, \quad \frac{1}{B_i}=\frac{b_i}{\displaystyle\prod_{j=1}^n b_j}, $

wobec czego

$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{A_i}= \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i}{\displaystyle\prod_{j=1}^n a_j} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i}{\displaystyle\sum_{j=1}^n a_j}=1, \quad \sum_{i=1}^n \frac{1}{B_i}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i}{\displaystyle\prod_{j=1}^n b_j}; $

skorzystaliśmy z pierwszego warunku zadania.

Z uwagi na nierówność (1), wartość ostatniego ułamka nie przekracza $1$ . Zatem jego licznik nie jest większy od mianownika - a to właśnie mieliśmy wykazać.