XLV OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLV OM, 1993-1994

Dowieść, że jeżeli na sześciokątnym przekroju sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez jego środek można opisać okrąg, to przekrój ten jest sześciokątem foremnym.

Rozwiązanie

Umieszczamy sześcian w układzie współrzędnych tak, by jego wierzchołkami były punkty o wszystkich współrzędnych równych $+1$ lub $-1$ . Środkiem sześcianu jest wówczas punkt $O = (0,0,0)$ , początek układu. Rozważana w zadaniu płaszczyzna przechodzi przez $O$ , a więc ma równanie postaci

$ (1) \qquad ax + by + cz = 0, $

przy czym żaden za współczynników $a$ , $b$ , $c$ nie jest zerem (gdyby na przykład współczynnik $a$ był równy zeru, wówczas płaszczyzna zawierałaby całą oś $Ox$ i przekrój sześcianu nie byłby sześciokątny).

Niech $A$ , $B$ , $C$ będą trzema kolejnymi wierzchołkami sześciokąta będącego rozważanym przekrojem. Leżą one na trzech krawędziach sześcianu tworzących linię łamaną o bokach równoległych do wszystkich trzech osi układu współrzędnych. Nie tracimy ogólności przyjmując, że są to (kolejno) krawędzie $PQ$ , $QR$ , $RP'$ , gdzie

$ P = (-1,1,-1), \quad Q= (1,1,-1), \quad R = (1,-1,-1), \quad P'= (1,-1,1) $

(rysunek 10). Wszystkie punkty prostej $PQ$ mają współrzędną $y = 1$ oraz współrzędną $z = -1$ . Zatem punkt $A$ ma postać $A = (\alpha,1,-1)$ . Analogicznie, $B = (1,-\beta,-1)$ , $C = (1,-1,\gamma)$ (oznaczenie drugiej współrzędnej punktu $B$ przez $-\beta$ , a nie $\beta$ , ma swój cel). Punkty $A$ , $B$ i $C$ leżą na płaszczyźnie danej równaniem (1). Mamy więc układ równań

$ a \alpha + b-c = 0, \quad a-b \beta-c=0, \quad a-b + c \gamma = 0, $

z którego wyznaczamy

$ (2) \qquad \alpha=\frac{c-b}{a}, \quad \beta=\frac{a-c}{b},\quad \gamma=\frac{b-a}{c}. $

Punkt $O$ jest środkiem symetrii badanego sześciokąta (bo jest środkiem symetrii sześcianu). Jeśli więc istnieje okrąg opisany na tym sześciokącie, to jego środkiem jest punkt $O$ . To znaczy, że punkty $A$ , $B$ , $C$ leżą w jednakowych odległościach od $O$ . A ponieważ $|OA|^2 = 2 +\alpha^2$ , $|OB|^2 = 2 + \beta^2$ , $|OC|^2 = 2 + \gamma^2$ , wnosimy stąd, że $|\alpha| = |\beta| = |\gamma|$ .

Jeśli wykażemy, że $\alpha = \beta = \gamma = 0$ , będzie to znaczyło, że $A = (0,1,-1)$ , $B = (1,0,-1)$ , $C = (1,-1,0)$ , a zatem punkty $A$ , $B$ i $C$ są środkami odpowiednich krawędzi i sześciokąt jest foremny.

Możemy teraz zapomnieć o kontekście geometrycznym; zadanie zostało sprowadzone do wykazania, że jeśli liczby $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ dane wzorami (2) mają równe moduły, to są one wszystkie równe zeru.

Gdy liczby $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ są równe, wzory (2) dają układ równań

$ (3) \qquad c - b = \alpha a,\quad a - c = \alpha b, \quad b - a = \alpha c. $

Dodajemy je stronami i otrzymujemy: $\alpha(a + b + c) = 0$ . Przypuśćmy, że $\alpha\neq 0$ ; wówczas $a + b + c = 0$ . Podstawiając $c = -(a + b)$ do pierwszych dwóch równań układu (3) dostajemy związki

$ 2b=-(1 + \alpha)a, \quad 2a = (\alpha-1)b, $

które - po pomnożeniu stronami - dają równość $4ab = (1 - \alpha^2)ab$ , czyli $(3 + \alpha^2)ab = 0$ . Jest to sprzeczność, skoro $a \neq 0$ i $b \neq 0$ . Zatem, w tym przypadku, $\alpha = \beta = \gamma = 0$ .

Pozostał do rozważenia przypadek, gdy dwie spośród liczb $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ są równe, a trzecia różni się znakiem.

Układ oznaczeń we wzorach (2) jest cykliczny; to znaczy, cykliczna zmiana zmiennych ( $a \mapsto b \mapsto c \mapsto a$ ) pociąga za sobą analogiczną zmianę wartości ( $\alpha \mapsto \beta \mapsto \gamma \mapsto \alpha$ ). Można więc bez straty ogólności przyjąć, że to liczby $\alpha$ i $\beta$ są równe, a zatem $\alpha = \beta = -\gamma$ . Tym razem wzory (2) dają układ równań

$ (4) \qquad c - b = \alpha a, \quad a - c = \alpha b, \quad b - a = -\alpha c, $

i po dodaniu stronami: $\alpha(a + b - c) = 0$ . Rozumując jak w poprzednim przypadku, przypuśćmy, że $\alpha \neq 0$ ; wówczas $a + b - c = 0$ . Podstawiając $c = a + b$ do pierwszych dwóch równań układu (4) dostajemy związki

$ a = \alpha a, \quad -b = \alpha b, $

które nie dadzą się pogodzić (jako, że $a\neq 0$ i $b\neq 0$ ). Także i w tym przypadku otrzymujemy wniosek, że $\alpha = \beta = \gamma = 0$ .