XLV OM - II - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XLV OM, 1993-1994

Etap:

Każdemu wierzchołkowi sześcianu przyporządkowano liczbę $1$ lub $-1$ , a każdej ścianie - iloczyn liczb przyporządkowanych wierzchołkom tej ściany. Wyznaczyć zbiór wartości, które może przyjąć suma $14$ liczb przyporządkowanych ścianom i wierzchołkom.

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę dowolne przyporządkowanie liczb $1$ i $-1$ wierzchołkom sześcianu; oznaczmy sumę tych liczb przez $S_1$ . Ścianom przyporządkujmy liczby w sposób wyznaczony zgodnie z zadaną regułą; oznaczmy sumę tych liczb przez $S_2$ . Suma wszystkich $14$ rozważanych liczb równa się $S_1 + S_2$ .

Dokonajmy zmiany liczby przy jednym wierzchołku (obojętne którym). Spowoduje ona zmianę liczb przyporządkowanych trzem ścianom. Wartość sumy $S_1$ zwiększy się o $2$ lub zmniejszy się o $2$ . Wartość sumy $S_2$ zwiększy się lub zmniejszy się o $2$ lub o $6$ . Łączna suma $S = S_1 + S_2$ zwiększy lub zmniejszy swą wartość o $4$ lub o $8$ , lub pozostanie niezmieniona.

Jeżeli wszystkim wierzchołkom są przyporządkowane jedynki, to także wszystkim ścianom są przyporządkowane jedynki, i wówczas $S = 8 + 6 = 14$ . (Jest to oczywiście maksymalna możliwa wartość sumy $S$ .) Z tej konfiguracji można osiągnąć każdą inną, zmieniając kolejno po jednej liczbie przy wierzchołkach. Zgodnie z poprzednim spostrzeżeniem, w każdym kroku tej procedury badana suma $S$ zmieni swą wartość o $\pm 4$ , $\pm 8$ lub $0$ . A zatem wartości przyjmowane przez sumę $S$ będą się różniły od wyjściowej wartości $14$ o wielokrotności liczby $4$ . Zbiór możliwych do uzyskania wartości jest więc podzbiorem zbioru $\{14,10,6,2,-2,-6,-10,-14\}$ .

Liczbę $-14$ możemy wyeliminować od razu: musielibyśmy mieć ,,minus jedynki'' przy wszystkich wierzchołkach i wszystkich ścianach - ale to jest sprzeczne z warunkami zadania.

Nie da się również uzyskać wartości $S = 10$ . Wymagałoby to bowiem, aby $12$ jedynek pojawiło się ze znakiem ,,plus'', a dwie ze znakiem ,,minus''. Gdyby przy wierzchołkach były same ,,plus jedynki'', to i przy ścianach byłyby same ,,plus jedynki''. Gdyby dokładnie jeden wierzchołek był opatrzony znakiem ,,minus'', wówczas {\it trzy} ściany otrzymałyby znak ,,minus''. Gdyby wreszcie ,,minusy'' były dokładnie przy dwóch wierzchołkach, wówczas także przy pewnych ścianach pojawiłyby się ,,minusy''. A więc konfiguracja ,,10 plusów, 2 minusy'' nie jest w żaden sposób osiągalna.

Zakres możliwych wartości $S$ został zatem ograniczony do zbioru

$<br /> \{14,6,2,-2,-6,-10\}.<br />$

Z tych sześciu wartości każdą już da się uzyskać, na ogół różnymi sposobami. Oto przykłady konfiguracji realizujących te wartości:

Jeżeli wszystkim wierzchołkom sześcianu przyporządkowano liczbę $+1$ , to $S_1 = 8$ , $S_2 = 6$ i $S = 14$ .

Jeżeli wszystkim wierzchołkom sześcianu przyporządkowano liczbę $-1$ , to $S_1 = -8$ , $S_2 = 6$ i $S = -2$ .

Jeżeli jednemu wierzchołkowi przyporządkowano liczbę $+1$ , a pozostałym $-1$ , to $S_1 = -6$ , $S_2 = 0$ i $S = -6$ .

Jeżeli jednemu wierzchołkowi przyporządkowano liczbę $-1$ , a pozostałym $+1$ , to $S_1 = 6$ , $S_2 = 0$ i $S = 6$ .

Jeżeli dwóm przeciwległym wierzchołkom sześcianu przyporządkowano liczbę $+1$ , a pozostałym $-1$ , to $S_1 = -4$ , $S_2 = -6$ i $S = -10$ .

Jeżeli dwóm przeciwległym wierzchołkom jednej ściany przyporządkowano liczbę $-1$ , a pozostałym wierzchołkom sześcianu liczbę $+1$ , to $S_1 =4$ , $S_2 = -2$ i $S = 2$ .