XLV OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLV OM, 1993-1994

Etap:

III

Punkty $A_1, A_2, \ldots , A_8$ są wierzchołkami równoległościanu o środku $O$ . Wykazać, że

$ r\cdot \sum_{i=1}^8 |OA_i|^2 \leq \left(\sum_{i=1}^8 |OA_i| \right)^2. $

Rozwiązanie

Przyjmijmy, że jedną ze ścian danego równoległościanu jest równoległobok $A_1A_2A_3A_4$ , a ścianą przeciwległą - równoległobok $A_5A_6A_7A_8$ , przy czym odcinki $A_1A_5$ , $A_2A_6$ , $A_3A_7$ , $A_4A_8$ są czterema krawędziami równoległościanu (rysunek 17). Oznaczmy odległości wierzchołków od punktu $O$ , jak następuje:

$ \begin{array}{ll} |OA_1| = |OA_7| = a,& |OA_2| = |OA_8| = b,\\ |OA_3| = |OA_5| = c, & |OA_4| = |OA_6| = d. \end{array} $

Nierówność dana do udowodnienia przyjmuje postać

$ 8(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \leq (2a + 2b + 2c + 2d)^2; $

równoważnie:

$ 2(a^2 + b^2+c^2 + d^2) \leq (a + b + c + d)^2. $

A ponieważ

$ (a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd, $

pozostaje wykazać, że

$ (1) \qquad a^2 + b^2 + c^2+d^2 \leq 2ab + 2ac + 2ad+2bc + 2bd + 2cd. $

Odcinki $OA_1$ , $OA_4$ , $A_1A_4$ są trzema bokami trójkąta; także odcinki $OA_2$ , $OA_3$ , $A_2A_3$ są trzema bokami trójkąta. Zatem

$ (2) \qquad |OA_1| \leq |OA_4| + |A_1A_4|,\quad |A_2A_3| \leq |OA_2| + |OA_3| $

(,,nierówności trójkąta''). Odcinki $A_1A_4$ i $A_2A_3$ są przeciwległymi bokami równoległoboku $A_1A_2A_3A_4$ , więc $|A_1A_4| = |A_2A_3|$ . Stąd wobec zależności (2) uzyskujemy nierówność