XLV OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XLV OM, 1993-1994

Etap:

III

Różne liczby rzeczywiste $x_1, x_2, \ldots , x_n$ ( $n \geq 4$ ) spełniają warunki

$ \sum_{i=1}^n x_i = 0,\qquad \sum_{i=1}^n x_i^2 = 1. $

Dowieść, że spośród tych liczb można wybrać takie cztery różne liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , aby zachodziły nierówności

$ a+b+c+nabc \leq \sum_{i=1}^n x_i^3 \leq a+b+d+nabd. $

Rozwiązanie

Wybierzmy ze zbioru $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ w dowolny sposób cztery różne liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ i weźmy pod uwagę wielomiany

$ \begin{split} P(x) &= (x-a)(x-b)(x-c)\\ &= x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + ac + bc)x - abc \end{split} $

oraz

$ \begin{split} Q(x) &= (x-a)(x-b)(x-d)\\ &= x^3 - (a + b + d)x^2 + (ab + ad + bd)x - abd. \end{split} $

Z warunków danych w założeniach zadania wynikają równości

$ \begin{split} \sum_{i=1}^n P(x_i) &= \sum_{i=1}^n x_i^3 -(a+b+c)\sum_{i=1}^n x_i^2 +(ab+ac+bc)\sum_{i=1}^n x_i - nabc =\\ &= \sum_{i=1}^n x_i^3 -(a+b+c+nabc), \end{split} $

czyli

$ \sum_{i=1}^n x_i^3 =(a+b+c+nabc)+ \sum_{i=1}^n P(x_i) $

i analogicznie

$ \sum_{i=1}^n x_i^3 =(a+b+d+nabd)+ \sum_{i=1}^n Q(x_i). $

Zadanie będzie więc rozwiązane, jeśli zdołamy wybrać liczby $a$ , $b$ , $c$ , $d$ tak, aby były spełnione nierówności

$ \sum_{i=1}^n P(x_i) \geq 0 \geq \sum_{i=1}^n Q(x_i). $

W tym celu oczywiście wystarczy, żeby dla {\it każdego} numeru $i \in \{1,2,\ldots,n\}$ zachodziły nierówności $P(x_i)\geq 0 \geq Q(x_i)$ , czyli

$ (1) \qquad (x_i-a)(x_i-b)(x_j-c) \geq 0 \geq (x_i-a)(x_i-b)(x_i-d). $

To zaś można osiągnąć różnymi sposobami.

Nie tracąc ogólności załóżmy, że $x_1 < x_2 < \ldots < x_n$ .

Przyjmijmy

$ a = x_1, \quad b = x_n, \quad c = x_{n-1}, \quad d=x_2. $

Dla każdego numeru $i \in \{1,2,\ldots,n\}$ iloczyn $(x_i - a)(x_i - b)$ jest niedodatni. Dla $i \in \{2,\ldots,n - 1\}$ czynnik $(x_i - c)$ jest niedodatni, a czynnik $(x_i - d)$ nieujemny, więc nierówności (1) są spełnione; a dla $i = 1$ oraz dla $i = n$ po obu stronach (1) mamy po prostu wartość zero.