XLIV OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLIV OM, 1992-1993

Etap:

Rozwiązać równanie

$ \frac{(x^2-1)(|x|+1)}{x+\mathrm{sgn}(x)} = [x+1] $

Uwaga: $[t]$ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $t$ ,

$ \mathrm{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & \text{ gdy } x > 0 \\ 0, & \text{ gdy } x = 0 \\ -1, & \text{ gdy } x < 0. \end{cases} $

Rozwiązanie

Oznaczmy lewą i prawą stronę równania odpowiednio przez $L(x)$ i $P(x)$ ; z postaci równania wynika, że $x\neq 0$ . Dla wszystkich liczb $x \neq 0$ mianownik ułamka definiującego wyrażenie $L(x)$ jest różny od zera, a więc wyrażenie to jest dobrze określone i mamy równość

$ |x| + 1 = x \cdot \sgn x + (\sgn x)^2 = (x + \sgn x) \sgn x; $

stąd zaś

$ L(x) = (x^2 - 1)\sgn x. $

Wartość bezwzględna prawej strony danego równania spełnia oczywiste oszacowanie $|P(x)| \leq |x| +1$ . Jeśli więc $|x| > 2$ , to

$ |L(x)|-|P(x)| \geq (x^2-1) - (|x| +1) = (|x|-2)(|x| + 1) >0. $

Zatem równanie nie ma rozwiązań w zbiorze $(-\infty;-2)\cup(2;\infty )$ .

Dla $x = 2$ równanie jest spełnione. W pozostałym zbiorze $\langle-2;0)\cup(0; 2)$ funkcje $L(x)$ i $P(x)$ są dane wzorami

$ L(x)=(x^2-1)\sgn x = \left\{\begin{array}{ll} 1-x^2& \textrm{dla } x \in \langle-2;0),\\ x^2-1& \textrm{dla } x \in (0;2)\\ \end{array}\right. $

oraz

$ P(x)=[x + 1]= \left\{\begin{array}{rl} -1& \textrm{dla } x \in \langle-2;-1),\\ 0& \textrm{dla } x \in \langle-1;0),\\ 1& \textrm{dla } x \in (0;1),\\ 2& \textrm{dla } x \in \langle1;2),\\ \end{array}\right. $

a ich różnica ma postać

$ L(x)-P(x)= \left\{\begin{array}{rl} 2-x^2& \textrm{dla } x \in \langle-2;-1),\\ 1-x^2& \textrm{dla } x \in \langle-1;0),\\ x^2-2& \textrm{dla } x \in (0;1),\\ x^2-3& \textrm{dla } x \in \langle1;2),\\ \end{array}\right. $

Przyrównanie do zera uzyskanych wyrażeń kwadratowych daje (w odpowiednich przedziałach) pierwiastki: $-\sqrt{2}$ , $-1$ , $\sqrt{3}$ . Uwzględniając znaleziony wcześniej pierwiastek $x = 2$ mamy pełne rozwiązanie:

$ \{x \in \mathbb{R}\setminus \{0\}: L(x) = P(x)\} = \{-\sqrt{2},-1,\sqrt{3},2\}. $