XLIV OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLIV OM, 1992-1993

Etap:

Dana jest liczba naturalna $n \geq 3$ . Rozwiązać układ równań

$ \begin{cases} \tan x_1 + 3\cot x_1 &= 2 \tan x_2 \\ \tan x_2 + 3\cot x_1 &= 2 \tan x_3 \\ \ldots \ldots \ldost \ldots \\ \tan x_{n-1} + 3\cot x_{n-1} &= 2 \tan x_n \\ \tan x_n + 3\cot x_n &= 2 \tan x_1 \\ \end{cases} $

Rozwiązanie

Załóżmy, że liczby $x_1,\ldots, x_n$ spełniają podany układ. Przyjmijmy

$ t_i = \tan x_i \quad \textrm{dla } i = 1,\ldots,n \quad \textrm{oraz} \quad t_{n+1}=t_1. $

Rozważany układ równań przybiera postać

$ (1) \qquad t_i + \frac{3}{t_i} = 2t_{i+1} \quad \textrm{dla } i = 1,\ldots,n. $

Wynika stąd, w szczególności, że liczby $t_1,\ldots ,t_n$ są jednakowego znaku. W takim razie układ (1) implikuje układ

$ |t_i| + \frac{3}{|t_i|} = 2|t_{i+1}| \quad \textrm{dla } i = 1,\ldots,n. $

Przepiszmy te równania w równoważnych postaciach

$ (2) \qquad |t_{i+1}| = \frac{(|t_i|-\sqrt{3})^2}{2|t_i|} + \sqrt{3} \quad \textrm{dla } i = 1,\ldots,n $

oraz

$ (3) \qquad |t_{i+1}| = |t_i| + \frac{3-t_i^2}{2|t_i|} \quad \textrm{dla } i = 1,\ldots,n. $

Z postaci (2) widać, że dla każdego $i$ zachodzi nierówność $|t_{i+1}| \geq \sqrt{3}$ . Tak więc żadna z liczb $|t_1|, \ldots, |t_n|$ nie jest mniejsza niż $\sqrt{3}$ . W takim razie $3 - t^2_i \leq 0$ dla $i = 1,\ldots,n$ , skąd na podstawie zależności (3):

$ |t_1|\geq |t_2| \geq \ldots \geq |t_n| \geq |t_{n+1}|. $

Skoro zaś $t_{n+1} = t_1$ , nierówności te muszą być faktycznie równościami. Wobec tego (por. (3)) różnica $3 -t^2_i$ jest dla wszystkich $i$ równa zeru. A ponieważ liczby $t_1,\ldots,t_n$ są jednakowego znaku, więc ostatecznie