Dany jest sześciokąt 
mający środek symetrii. Oznaczmy przez 
punkt przecięcia prostych 
i 
, przez 
- punkt przecięcia prostych 
i 
, a przez 
- punkt przecięcia prostych i 
. Dowieść, że 
.
Dany sześciokąt ma środek symetrii. Jego przeciwległe boki są więc równoległe i równej długości; w szczególności zachodzą związki:
![\[<br />
EF\parallel BC, \quad FA \parallel CD, \quad |FA| = |CD|.<br />
\]](/files/tex/19a73a96652beceb135a89d62a9535eaa69ea7ce.png) |
Ponieważ punkty i leżą odpowiednio na prostych i , a punkty i leżą odpowiednio na prostych 
i , zatem możemy przepisać poprzednie związki równoległości jako
![\[<br />
A'F\parallel BB',\quad AB'\parallel C'C.<br />
\]](/files/tex/33633e0ff2080422a04e9936cb9452bb3a3df72c.png) |
Z pierwszego z nich wynika, że trójkąt 
jest podobny do trójkąta 
, a z drugiego - że trójkąt jest podobny do trójkąta 
(rysunek 1). Uzyskujemy w ten sposób proporcje
![\[<br />
\frac{|AA'|}{|AB|}=\frac{|AF|}{|AB'|} \quad \textrm{oraz} \quad \frac{|BB'|}{|BC|}=\frac{|AB'|}{|C'C|},<br />
\]](/files/tex/270a7d4e9e8a2203dda7a9cef68862b53a55a33f.png) |
które - pomnożone stronami - dają związek
![\[<br />
\frac{|AA'|}{|AB|}\cdot \frac{|BB'|}{|BC|} =\frac{|AF|}{|CC'|}.<br />
\]](/files/tex/38d2b511d28a0c4d9d6db7afcf4c98be49ea862d.png) |
Ponieważ zaś 
, zatem, ostatecznie,
![\[<br />
\frac{|AA'|}{|AB|}\cdot \frac{|BB'|}{|BC|} \cdot \frac{|CC'|}{|CD|}=1.<br />
\]](/files/tex/014af9cf69d0f417f61a7466ae71b0e1aafcc20f.png) |
Warto zauważyć, że rozumowanie jest niezależne od tego, czy sześciokąt jest wypukły, czy nie (rysunek 1).
