XLIV OM - I - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XLIV OM, 1992-1993

Etap:

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takie, że

$ f(x+y)-f(x-y)=f(x)\cdot f(y) \quad \text{ dla } x,y \in \mathbb{R}. $

Rozwiązanie

Załóżmy, że funkcja $f$ spełnia dane równanie funkcyjne. Podstawiając $x = y = 0$ dostajemy równość $f(0) = 0$ . Podstawiając następnie w równaniu $x = 0$ (i wiedząc, że $f(0) = 0$ ) dostajemy zależność

$ f(y)-f(-y) = 0 \quad \textrm{dla wszystkich } y \in \mathbb{R}. $

To znaczy, że $f$ jest funkcją parzystą.

Weźmy dowolną liczbę $y \in \mathbb{R}$ i podstawmy w danym równaniu kolejno $x = y$ oraz $x = - y$ . Otrzymujemy związki

$ f(2y) = f(y)^2 \quad \textrm{oraz} \quad - f(-2y) = f(-y)f(y). $

Wobec parzystości funkcji $f$ , prawe strony tych związków są liczbami równymi (bo $f(-y) = f(y)$ ), a lewe ich strony są liczbami przeciwnymi (bo $f(-2y) = f(2y)$ ). Wszystkie te liczby muszą więc być zerami. Z dowolności wyboru liczby $y$ wynika, że $f$ jest funkcją równą tożsamościowo zeru.