XLIV OM - I - Zadanie 7

Zawody matematyczne:

XLIV OM, 1992-1993

Etap:

W przestrzeni dane są punkty

$ A_0 = (0,0,0),\; A_1 = (1,0,0),\; A_2 = (0,1,0),\; A_3 = (0,0,1). $

Niech $P_{ij}$ ( $i,j \in \{0,1,2,3\}$ ) będą punktami wyznaczonymi przez równość $\overrightarrow{A_0P_{ij}} = \overrightarrow{A_iA_j}$ . Obliczyć objętość najmniejszego wielościanu wypukłego zawierającego wszystkie punkty $P_ij$ .

Rozwiązanie

Weźmy pod uwagę punkty $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , symetryczne odpowiednio do $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ względem punktu $A_0$ (początku układu współrzędnych):

$ B_1 = (-1,0,0), \quad B_2 = (0,-1,0), \quad B_3 = (0,0,-1). $

Rozpatrywane punkty

$ P_{12} = (-1,1,0), \quad P_{23} = (0,-1,1), \quad P_{31} = (1,0,-1), $

$ P_{21} = (1,-1,0), \quad P_{32} = (0,1,-1), \quad P_{13} = (-1,0,1) $

oraz

$ P_{01} = A_1,\ P_{02} = A_2,\ P_{03} = A_3,\ P_{10} = B_1,\ P_{20} = B_2,\ P_{30} = B_3 $

leżą na brzegu sześcianu o wierzchołkach $(\pm1,\pm1,\pm1)$ . Oczywiście punkty $P_{00}$ , $P_{11}$ , $P_{22}$ , $P_{33}$ pokrywają się z $A_0$ , środkiem sześcianu.

Interesuje nas najmniejszy wielościan wypukły zawierający wszystkie punkty $P_{ij}$ . Oznaczmy ten wielościan przez $\mathcal{W}$ . Zawiera on każdy wielościan wypukły, którego wierzchołkami są pewne spośród tych punktów. Zawiera więc (w szczególności):

$ \begin{array}{l} \textrm{graniastosłup}\ \mathcal{B}_1 \textrm{ o wierzchołkach } A_0, A_1, A_3, B_2, P_{21}, P_{23};\\ \textrm{graniastosłup}\ \mathcal{B}_2 \textrm{ o wierzchołkach } A_0, A_2, A_3, B_1, P_{12}, P_{13};\\ \textrm{graniastosłup}\ \mathcal{B}_3 \textrm{ o wierzchołkach } A_0, B_1, B_2, A_3, P_{13}, P_{23};\\ \textrm{czworościan}\quad \mathcal{C} \ \ \ \textrm{o wierzchołkach } A_0 , A_1, A_2, A_3. \end{array} $

Oznaczmy przez $\mathcal{U}$ sumę tych czterech brył (rysunek 3). Jej obraz w symetrii środkowej względem punktu $A_0$ oznaczmy przez $\mathcal{V}$ . Suma $\mathcal{U} \cup \mathcal{V}$ jest więc podzbiorem szukanego wielościanu $\mathcal{W}$ .

Bryła $\mathcal{U}$ jest wielościanem wypukłym o ośmiu ścianach; są nimi:

$ \begin{array}{ll} \textrm{sześciokąt} & A_1 A_2P_{12}B_1B_2BP_{21};\\ \textrm{prostokąty}& A_1A_3P_{23}P_{21}, \ A_2A_3P_{13}P_{12},\ B_1B_2P_{23}P_{13};\\ \textrm{trójkąty}& B_2P_{21}P_{23},\ B_1P_{12}P_{13},\ A_3P_{13}P_{23},\ A_1A_2A_3. \end{array} $

Płaszczyzna każdej z tych ścian dzieli przestrzeń na dwie półprzestrzenie. Z każdej pary półprzestrzeni wyznaczonych przez ścianę czworokątną lub trójkątną wybierzmy tę, która zawiera punkt $A_0$ . Z pary półprzestrzeni wyznaczonych przez ścianę sześciokątną wybierzmy tę, która składa się z punktów $(x,y,z)$ o współrzędnej $z \geq 0$ (,,górną''); oznaczmy ją przez $\mathcal{P}_0$ , a pozostałe wybrane półprzestrzenie oznaczmy (w dowolnej kolejności) przez $\mathcal{P}_1, \ldots, \mathcal{P}_7$ . Wielościan $\mathcal{U}$ jest wówczas częścią wspólną tak wybranych półprzestrzeni.

Przez symetrię, wielościan $\mathcal{V}$ jest częścią wspólną ośmiu półprzestrzeni $\mathcal{Q}_0, \mathcal{Q}_1, \ldots, \mathcal{Q}_7$ , gdzie $\mathcal{Q}_i$ oznacza półprzestrzeń symetryczną do $\mathcal{P}_i$ względem punktu $A_0$ . Tak więc

$ (1) \qquad \mathcal{U} =\mathcal{P}_0 \cap \mathcal{P}_1 \cap \ldots \cap \mathcal{P}_7, \quad \mathcal{V} = \mathcal{Q}_0 \cap \mathcal{Q}_1 \cap \ldots \cap \mathcal{Q}_7. $

Żadna z płaszczyzn ścian trójkątnych lub czworokątnych wielościanu $\mathcal{U}$ nie przecina wnętrza wielościanu $\mathcal{V}$ . Wobec tego $\mathcal{V}$ jest podzbiorem każdej z półprzestrzeni $\mathcal{P}_1, \ldots, \mathcal{P}_7$ . Przez symetrię, $\mathcal{U}$ jest podzbiorem każdej z półprzestrzeni $\mathcal{Q}_1, \ldots, \mathcal{Q}_7$ . Stąd oraz ze związków (1) dostajemy inkluzję

$ (2) \qquad \mathcal{U} \cup \mathcal{V} \subset \mathcal{P}_1 \cap \ldots \cap \mathcal{P}_7\cap\mathcal{Q}_1 \cap \ldots \cap \mathcal{Q}_7. $

Na odwrót, każdy punkt należący do przecięcia tych czternastu półprzestrzeni należy do któregoś ze zbiorów $\mathcal{U}$ lub $\mathcal{V}$ (w zależności od tego, czy jest położony w ,,górnej'' półprzestrzeni $\mathcal{P}_0$ , czy w „dolnej'' półprzestrzeni $\mathcal{Q}_0$ ); wynika to z równości (1). W takim razie inkluzja (2) jest równością zbiorów.

Stąd wniosek, że zbiór $\mathcal{U}\cup \mathcal{V}$ , jako część wspólna czternastu półprzestrzeni, jest wielościanem wypukłym. A ponieważ zawiera on wszystkie punkty $P_{ij}$ , zatem musi zawierać cały wielościan $\mathcal{W}$ - w myśl definicji tego ostatniego. Wcześniej stwierdziliśmy, że $\mathcal{U} \cup \mathcal{V}$ jest podzbiorem $\mathcal{W}$ . Uzyskujemy w ten sposób równość $\mathcal{U} \cup \mathcal{V}=\mathcal{W}$ .

Pozostaje obliczyć objętość tego wielościanu. Każdy z graniastosłupów $\mathcal{B}_1$ , $\mathcal{B}_2$ , $\mathcal{B}_3$ ma w podstawie trójkąt prostokątny o obu przyprostokątnych długości $1$ oraz ma wysokość $1$ . Objętość każdego z nich jest więc równa $1/2$ . Czworościan $\mathcal{C}$ jest ostrosłupem o wysokości $1$ , mającym w podstawie taki sam trójkąt prostokątny; ma więc objętość $1/6$ . Łączna objętość tych czterech brył, czyli objętość wielościanu $\mathcal{U}$ , wynosi zatem $5/3$ . Wielościan $\mathcal{V}$ , który jest przystający do $\mathcal{U}$ , ma także objętość $5/3$ . Ostatecznie więc, objętość badanego wielościanu $\mathcal{W} = \mathcal{U} \cup \mathcal{V}$ równa się $10/3$ .