XLIV OM - I - Zadanie 9

Zawody matematyczne:

XLIV OM, 1992-1993

Etap:

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ , $c$ zachodzi nierówność

$ \begin{split} (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)&(c^2+a^2-b^2) \leq \\ &\leq (a+b-c)^2(b+c-a)^2(c+a-b)^2 \end{split} $

Rozwiązanie

Oznaczmy:

$ \begin{array}{ccc} b^2 +c^2 - a^2 = A, & c^2 + a^2-b^2 = B, & a^2 + b^2-c^2 = C,\\ b + c-a = x,& c + a-b = y,& a + b-c = z. \end{array} $

Mamy udowodnić nierówność

$ \nr{I} ABC\leq x^2y^2z^2. $

Ponieważ

$ B + C = 2a^2 \geq 0, \quad C + A = 2b^2 \geq 0,\quad A+ B = 2c^2 \geq 0, $

zatem co najwyżej jedna spośród liczb $A$ , $B$ , $C$ może być ujemna. Jeśli jest taka, wówczas $ABC \leq0$ , więc nierówność (1) zachodzi.

Przyjmijmy teraz, że $A,B,C\geq 0$ . Zauważmy, że

$ \begin{split} x^2y^2-AB &=\\ &= [(c - (a - b)) (c + (a - b))]^2 - [c^2 - (a^2 - b^2)] [c^2 + (a^2 - b^2)] =\\ &= [c^2-(a-b)^2]^2-[c^4-(a^2-b^2)^2] =\\ &= [c^4-2c^2(a-b)^2 + (a-b)^4]-[c^4-(a-b)^2(a + b)^2] =\\ &= (a-b)^2[-2c^2 + (a-b)^2 + (a + b)^2] = (a - b)^2 ( - 2c^2 + 2a^2 +2b^2) =\\ &= 2C(a-b)^2 \geq 0. \end{split} $