XLIV OM - I - Zadanie 10

Zawody matematyczne:

XLIV OM, 1992-1993

Etap:

Funkcja $f$ przekształcająca sześcian $\mathcal{C}$ na $\mathcal{C}$ spełnia warunek

$ |PQ| \geq |f(P)f(Q)| \quad \text{ dla } P,Q\in \mathcal{C}. $

Wykazać, że $f$ jest izometrią.

Rozwiązanie

Oznaczmy wierzchołki sześcianu przez $B_1, \ldots ,B_8$ w taki sposób, by kwadrat $B_1B_2B_3B_4$ był jedną ze ścian, a odcinki $B_1B_5$ , $B_2B_6$ , $B_3B_7$ , $B_4B_8$ były czterema równoległymi krawędziami; długość krawędzi przyjmujemy za jednostkę.

Funkcja $f$ (z założenia) przekształca sześcian $\mathcal{C}$ na cały sześcian $\mathcal{C}$ . Zatem, w szczególności, każdy wierzchołek jest obrazem pewnego punktu sześcianu.

Końce każdej z czterech przekątnych sześcianu (długości $\sqrt{3}$ ) są obrazami w odwzorowaniu $f$ pewnych punktów sześcianu $\mathcal{C}$ odległych od siebie, zgodnie z warunkiem nałożonym na $f$ , o nie mniej niż $\sqrt{3}$ - a więc także końców pewnej przekątnej. Wobec tego każdy wierzchołek jest obrazem pewnego wierzchołka. Oznaczmy przez $A_i$ ten wierzchołek, którego obrazem jest $B_i$ :

$ f(A_i) = B_i, \quad \textrm{dla } i = 1,\ldots,8. $

Różnym punktom $B_i$ muszą odpowiadać różne punkty $A_i$ . To znaczy, że w zbiorze $\{A_1,\ldots,A_8\}$ nie ma powtórzeń, są tam wszystkie wierzchołki sześcianu. Innymi słowy, układ punktów $(A_1,\ldots,A_8)$ jest permutacją układu $(B_1,\ldots,B_8)$ . Każda z par $\{A_1,A_7\}$ , $\{A_2,A_8\}$ , $\{A_3,A_5\}$ , $\{A_4,A_6\}$ jest odwzorowywana na odpowiednią parę $\{B_1,B_7\}$ , $\{B_2,B_8\}$ , $\{B_3,B_5\}$ , $\{B_4,B_6\}$ , czyli na końce pewnej przekątnej. Zgodnie z wcześniejszym spostrzeżeniem, każda z wymienionych przed chwilą par $\{A_i,A_j\}$ jest też parą końców pewnej przekątnej. Mamy więc związki:

$ |A_1A_7| = |A_2A_8| = |A_3A_5| = |A_4A_6| = \sqrt{3}, $

a ponadto

$ |A_iA_j| \leq \sqrt{2} \quad \textrm{dla innych par numerów} \ (i,j) $

(bo tylko cztery odcinki $A_iA_j$ mogą być przekątnymi sześcianu, i są nimi odcinki figurujące w poprzedniej równości).

Punkty $B_1$ , $B_3$ , $B_6$ , $B_8$ są wierzchołkami czworościanu foremnego o krawędzi długości $\sqrt{2}$ . Dla $i,j \in \{1,3,6,8\}$ , $i\neq j$ , mamy więc zależności

$ \sqrt{2} = |B_iB_j| \leq |A_iA_j| \leq \sqrt{2}; $

w takim razie $A_1A_3A_6A_8$ też jest czworościanem foremnym o krawędzi $\sqrt{2}$ .

Niech $g$ będzie izometrią wyznaczoną przez warunki:

$ g(B_i) = A_i \quad \textrm{dla } i \in\{1,3,6,8\} $

(izometria przestrzeni jest wyznaczona przez ustalenie jej wartości na dowolnych czterech punktach niewspółpłaszczyznowych). Punkt $B_7$ leży w odległości $1$ od każdego z punktów $B_3$ , $B_6$ , $B_8$ oraz w odległości $\sqrt{3}$ od punktu $B_1$ ; zatem punkt $g(B_7)$ leży w odległości $1$ od każdego z punktów $A_3$ , $A_6$ , $A_8$ oraz w odległości $\sqrt{3}$ od punktu $A_1$ . Jest tylko jeden taki punkt w przestrzeni - mianowicie punkt $A_7$ (rysunek 4). To znaczy, że $g(B_7) = A_7$ . Podobnie wykazujemy, że $g(B_2) = A_2$ , $g(B_4) = A_4$ , $g(B_5) = A_5$ .

Weźmy pod uwagę przekształcenie $h = g \circ f$ (złożenie przekształceń $g$ i $f$ ). Z uzyskanych przed chwilą równości oraz z warunku zadania wynika, że przekształcenie $h$ ma następujące własności:

$ h(A_i) = A_i \quad \textrm{dla } i = 1,\ldots ,8 $

oraz

$ |PQ| \geq |h(P)h(Q)| \quad \textrm{dla } P,Q \in \mathcal{C}. $

Wykażemy teraz, że jeśli $M,N \in \mathcal{C}$ dowolnymi punktami stałymi odwzorowania $h$ (to znaczy takimi, że $h(M) = M$ , $h(N) = N$ ), to wówczas każdy punkt $P$ należący do odcinka $MN$ również jest punktem stałym odwzorowania $h$ .

Istotnie: dla par punktów $M$ , $P$ oraz $N$ , $P$ zachodzą nierówności

$ |MP| \geq |h(M)h(P)|, \quad |NP| \geq |h(N)h(P)|. $

Gdyby punkt $h(P)$ nie pokrywał się z $P$ , to co najmniej jedna z nich byłaby ostra i dostalibyśmy nierówność

$ |MN| = |MP| + |PN| > |h(M)h(P)| + |h(P)h(N)| \geq |h(M)h(N)| = |MN|, $

która oczywiście zachodzić nie może. Uzyskana sprzeczność dowodzi słuszności spostrzeżenia zawartego w poprzednim akapicie.

Opierając się na tym spostrzeżeniu stwierdzamy kolejno, że równość $h(P) = P$ zachodzi:

dla każdego punktu $P$ leżącego na dowolnej krawędzi sześcianu $\mathcal{C}$ (bo zachodzi dla wszystkich wierzchołków, a więc w szczególności dla końców tej krawędzi);
dla każdego punktu $P$ leżącego na dowolnej ścianie sześcianu $\mathcal{C}$ (bo każdy taki punkt należy do pewnego odcinka o końcach na krawędziach $\mathcal{C}$ , więc wystarczy skorzystać z konkluzji (1));
dla każdego punktu $P$ leżącego wewnątrz sześcianu $\mathcal{C}$ (bo każdy taki punkt należy do pewnego odcinka o końcach na ścianach $\mathcal{C}$ , więc wystarczy skorzystać z konkluzji (2)).

Wobec tego odwzorowanie $h = g \circ f$ jest identycznościowym przekształceniem sześcianu $\mathcal{C}$ na $\mathcal{C}$ . A skoro $g$ jest izometrią, zatem i $f$ jest izometrią.