XLIV OM - II - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLIV OM, 1992-1993

Etap:

Dowieść, że dla liczb dodatnich $x$ , $y$ , $u$ , $v$ zachodzi nierówność

$ \frac{xy+xv+uy+uv}{x+y+u+v} \geq \frac{xy}{x+y} + \frac{uv}{u+v} $

Rozwiązanie

Mnożąc stronami przez iloczyn wszystkich mianowników przekształcamy daną nierówność do postaci równoważnej

$ \begin{split} (1) \qquad (xy + xv + uy + uv)&(x + y)(u + v) \geq\\ &\geq (x+ y + u + v) [xy(u + v) + (x + y)uv]. \end{split} $

Oznaczmy lewą i prawą stronę (1) odpowiednio przez $L$ i $P$ oraz przyjmijmy

$ z = x + y, \quad w=u + v, \quad p=xy, \quad q = uv. $

Wówczas

$ L = (p+q + xv+yu)zw = pzw + qzw + xvzw + yuzw, $

$ P = (z + w)(pw + qz) = pzw + qzw + pw^2 +qz^2, $

skąd

$ \begin{split} L - P &= xv zw + yuzw - pw^2 - qz^2 =\\ &= xvzw + yuzw - xyw^2 - uvz^2 = (vz - yw)(xw - uz). \end{split} $

Zauważmy teraz, że

$ vz - yw = v(x + y) - y(u + v) = xv - yu $

oraz

$ xw - uz = x(u + v) - u(x + y) = xv - yu. $

Zatem, ostatecznie,

$ L-P = (xv-yu)^2 \geq 0. $

Nierówność (1), równoważna nierówności danej w zadaniu, została w ten sposób wykazana.