XLIV OM - II - Zadanie 3

Zawody matematyczne:

XLIV OM, 1992-1993

Etap:

Na krawędzi $|OA_1|$ czworościanu $|OA_1B_1C_1|$ wybrano punkty $A_2$ , $A_3$ tak, że $|OA_1| > |OA_2| > |OA_3| > O$ . Niech $B_2$ , $B_3$ będą takimi punktami krawędzi $|OC_1|$ , a $C_2$ , $C_3$ - takimi punktami krawędzi $|OC_1|$ , że płaszczyzny $|A_1B_1C_1|$ , $|A_2B_2C_2|$ , $|A_3B_3C_3|$ są równoległe. Oznaczmy przez $V_i$ ( $i=1,2,3$ ) objętość czworościanu $|OA_iB_iC_i|$ , a przez $V$ objętość czworościanu $|OA_1B_2C_3|$ . Udowodnić, że $V_1 + V_2 + V_3 \geq 3V$ .

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $B_1'$ , $B_2'$ rzuty prostokątne punktów $B_1$ , $B_2$ na płaszczyznę $OA_1C_1$ , a przez $C_1'$ , $C_3'$ - rzuty punktów $C_1$ , $C_3$ na płaszczyznę $OA_1B_1$ (rysunek 7; wygodnie jest za każdym razem wyobrażać sobie czworościan tak usytuowany, by ściana, na którą rzutujemy, była jego ,,poziomą'' podstawą). Z podobieństwa par trójkątów $OB_1B_1'$ i $OB_2B_2'$ oraz $OC_1C_1'$ i $OC_3C_3'$ wynikają proporcje

$ \frac{|B_2B_2'|}{|B_1B_1'|}=\frac{|OB_2|}{|OB_1|} \quad \textrm{oraz} \quad \frac{|C_3C_3'|}{|C_1C_1'|}=\frac{|OC_3|}{|OC_1|}; $

natomiast z podobieństwa par trójkątów $OA_1B_1$ i $OA_2B_2$ oraz $OA_1C_1$ i $OA_3C_3$ wynikają proporcje

$ \frac{|OB_2|}{|OB_1|}=\frac{|OA_2|}{|OA_1|} \quad \textrm{oraz} \quad \frac{|OC_3|}{|OC_1|} = \frac{|OA_3|}{|OA_1|}. $

Długości odcinków $OA_1$ , $OA_2$ , $OA_3$ oznaczmy krótko przez $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ . Z wypisanych proporcji uzyskujemy związki

$ \frac{|B_2B_2'|}{|B_1B_1'|}=\frac{a_2}{a_1} \quad \textrm{oraz} \quad \frac{|C_3C_3'|}{|C_1C_1'|}=\frac{a_3}{a_1}. $

Weźmy pod uwagę czworościany $OA_1B_2C_3$ i $OA_1B_2C_1$ . Mają one wspólną ścianę (,,podstawę'') $OA_1B_2$ , a więc stosunek ich objętości równa się stosunkowi wysokości opuszczonych na tę ścianę:

$ \frac{\textrm{objętość}(OA_1B_2C_3)}{\textrm{objętość}(OA_1B_2C_1)}=\frac{|C_3C_3'|}{|C_1C_1'|}=\frac{a_3}{a_1}. $

Z kolei czworościany $OA_1B_2C_1$ i $OA_1B_1C_1$ mają wspólną ścianę $OA_1C_1$ , więc (analogicznie) stosunek ich objętości równa się stosunkowi odpowiednich wysokości:

$ \frac{\textrm{objętość}(OA_1B_2C_1)}{\textrm{objętość}(OA_1B_1C_1)}=\frac{|B_2B_2'|}{|B_1B_1'|}=\frac{a_2}{a_1}. $

Mnożąc stronami związki (1) i (2) (oraz używając wprowadzonych w treści zadania oznaczeń $V$ , $V_1$ ) dostajemy równość

$ \frac{V}{V_1}=\frac{a_2a_3}{a_1^2}. $

Przy wyprowadzaniu tego wzoru nie korzystaliśmy nigdzie z założenia, że $a_1 >a_2 > a_3$ . Można powtórzyć to samo rozumowanie, zmieniając dowolnie role wskaźników $1$ , $2$ , $3$ . Otrzymujemy analogiczne proporcje

$ \frac{V}{V_2}=\frac{a_3a_1}{a_2^2}, \quad \frac{V}{V_3}=\frac{a_1a_2}{a_3^2}. $

Te trzy proporcje, po wymnożeniu stronami, dają równość $V^3/(V_1V_2 V_3) = 1$ , czyli $V^3 = V_1V_2V_3$ . Stąd, na mocy nierówności między średnią geometryczną i średnią arytmetyczną,

$ V=\sqrt[3]{V_1V_2V_3}\leq \frac{1}{3}(V_1+V_2+V_3). $