XLIV OM - II - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XLIV OM, 1992-1993

Etap:

Dana jest funkcja ciągła $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ spełniająca warunki:

$ f(1000) =999, \quad f(x)\cdot f(f(x)) = 1 \quad \text{ dla } x\in \mathbf{R}. $

Obliczyć $f(500)$ .

Rozwiązanie

W podanym równaniu

$ (1) \qquad f(x)\cdot f(f(x)) = 1 $

podstawiamy $x = 1000$ i otrzymujemy równość $999 \cdot f(999) = 1$ , czyli

$ f(999) = \frac{1}{999}. $

Z kolei podstawmy w (1) $x = 999$ : dostaniemy związek $\frac{1}{999} \cdot f\left(\frac{1}{999}\right) = 1$ , czyli

$ f\left( \frac{1}{999}\right) = 999. $

Widzimy, że liczby $1/999$ oraz $999$ są wartościami funkcji $f$ . Zgodnie z założeniem, funkcja ta jest ciągła, a więc przyjmuje wszystkie wartości pośrednie; w szczególności przyjmuje wartość $500$ . To znaczy, że dla pewnej liczby rzeczywistej $x_0$ zachodzi równość $f(x_0) = 500$ .

Przyjmijmy $x = x_0$ w równaniu (1): uzyskujemy związek $500\cdot f(500) = 1$ . Zatem

$ f(500) = \frac{1}{500}. $

Jest to odpowiedź na postawione pytanie.

Uwaga Ani z treści zadania, ani z przeprowadzonego rozumowania nie jest oczywiste, czy funkcja spełniająca warunki zadania w ogóle istnieje. Warto więc podać przykład takiej funkcji:

$ f(x)=\left\{\begin{split} &999 \textrm{ dla } x \in (-\infty; \frac{1}{999}\rangle \cup \langle 1000;\infty), \\ &\frac{1}{x} \textrm{ dla } x\in \left\langle \frac{1}{999};999 \right\rangle, \\ &\textrm{liniowa w przedziale } (999; 1000). \end{split}\right. $