XLIV OM - III - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLIV OM, 1992-1993

Etap:

III

Rozwiązać w liczbach wymiernych $t$ , $w$ , $x$ , $y$ , $z$ układ równań

$ \begin{cases} 2xy &= t^2 - w^2 + z^2 \\ 2xz &= t^2 - y^2 + w^2 \\ 2yz &= t^2 - w^2 + r^2. \\ \end{cases} $

Rozwiązanie

Załóżmy, że liczby wymierne $t$ , $w$ , $x$ , $y$ , $z$ spełniają podany układ równań. Odejmujemy stronami równanie trzecie od pierwszego: otrzymujemy równość $2xy - 2yz = z^2 - x^2$ , czyli

$ (1) \qquad (x-z)(2y + x + z) = 0. $

Dodajemy stronami drugie i trzecie równanie układu: otrzymujemy równość $2xz + 2yz = 2t^2+x^2-y^2$ , czyli

$ (2) \qquad (x + y)(2z-x + y) = 2t^2. $

Wreszcie, korzystając z wszystkich trzech równań układu, dostajemy związek

$ (3) \qquad \begin{split} & (x-y + z)^2 = x^2 + y^2 +z^2 -2xy + 2xz-2yz =\\ &\qquad= x^2 +y^2 +z^2 -(t^2 -w^2 +z^2) + (t^2 -y^2 +w^2)-(t^2 -w^2 +x^2) = \\ &\qquad= 3w^2-t^2. \end{split} $

Z równania (1) wnosimy, że

$ (4) \qquad z = x \quad \textrm{lub} \quad z = - x - 2y. $

Pierwsza z tych możliwości daje, po podstawieniu do równania (2),

$ (5) \qquad (x + y)^2=2t^2, $

a druga -

$ (6) \qquad -3(x + y)^2 = 2t^2. $

Przypuśćmy, że zachodzi równość (5). Gdyby $t$ było liczbą różną od zera, otrzymalibyśmy związek $((x + y)/t)^2 =2$ , który - wobec wymierności liczb $t$ oraz $x + y$ - zachodzić nie może (bo liczba $2$ nie jest kwadratem liczby wymiernej). Zatem liczba $t$ musi być równa zeru, więc i suma $x + y$ musi być równa zeru. Także równość (6) jest możliwa tylko wtedy, gdy $x + y = 0$ , $t = 0$ (lewa strona niedodatnia, prawa nieujemna). Tak więc, w każdym przypadku, mamy równość $x + y = t = 0$ . Skoro $y=-x$ , oba człony alternatywy (4) są identyczne: $x = z$ . Podstawiając $y = - x$ , $z = x$ , $t = 0$ do (3) dostajemy związek $(3x)^2 = 3w^2$ , czyli $w^2 = 3x^2$ . Rozumując podobnie, jak przed chwilą, wnosimy stąd (wobec wymierności liczb $3x$ oraz $w$ ), że $x = w = 0$ . Zatem także $y = -x = 0$ , $z = x = 0$ .

Dany układ równań ma więc w liczbach wymiernych tylko rozwiązanie trywialne $t = w = x = y = z = 0$ .