XLIV OM - III - Zadanie 4

Zawody matematyczne:

XLIV OM, 1992-1993

Etap:

III

Dany jest wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są trójkątami. Wierzchołki tego wielościanu kolorujemy trzema kolorami. Udowodnić, że liczba ścian mających wierzchołki wszystkich trzech kolorów jest parzysta.

Rozwiązanie

Dla czworościanu teza zachodzi: liczba ścian o wierzchołkach trzech różnych kolorów wynosi $0$ lub $2$ (łatwe ćwiczenie).

Weźmy teraz pod uwagę dowolny wielościan $W$ mający $n$ trójkątnych ścian (i wierzchołki pokolorowane trzema kolorami). Obierzmy wewnątrz $W$ dowolny punkt $P$ . Każda ściana wielościanu $W$ jest podstawą ostrosłupa o wierzchołku $P$ , a cały wielościan $W$ jest sumą tak otrzymanych ostrosłupów (czworościanów): $W = T_1 \cup \ldots \cup T_n$ .

Będziemy rozważali wszystkie ściany wszystkich tych czworościanów (niektóre z nich są jednocześnie ścianami wielościanu $W$ ). Kolorujemy punkt $P$ jednym z trzech kolorów (dowolnie wybranym). Ścianę nazwiemy trójkolorową, jeśli jest trójkątem mającym wierzchołki wszystkich trzech kolorów.

Niech $k_i$ będzie liczbą trójkolorowych ścian czworościanu $T_i$ ; jak zauważyliśmy na wstępie, $k_i = 0$ lub $k_i = 2$ . Zatem suma $k_1 + \ldots+ k_n$ jest liczbą parzystą.

Trójkąty leżące wewnątrz wielościanu $W$ są w tej sumie liczone dwukrotnie, bo każdy z nich jest wspólną ścianą dwóch przyległych czworościanów $T_i$ . Oznaczając liczbę tych trójkątów przez $m$ widzimy, że łączna liczba trójkolorowych ścian (wszystkich czworościanów $T_i$ ), które nie leżą wewnątrz $W$ - czyli po prostu liczba trójkolorowych ścian wielościanu $W$ - wynosi $k_1 + \ldots + k_n - 2m$ . Jest więc liczbą parzystą.