XLIV OM - III - Zadanie 5

Zawody matematyczne:

XLIV OM, 1992-1993

Etap:

III

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ spełniające następujące warunki:

$ f(-x)=-f(x), \quad f(x+1)=f(x)+1 \quad \text{ dla }x \in \mathbb{R}, $

$ f\left(\frac{1}{x}\right) =\frac{f(x)}{x^2} \quad \text{ dla } x\neq 0. $

Rozwiązanie

Załóżmy, że funkcja $f: \mathbb{R} \to \mathrm{R}$ spełnia podane równania. Niech $t$ będzie liczbą rzeczywistą różną od $0$ i od $-1$ .

W pierwszym równaniu podstawiamy $x = 1/(t + 1)$ ; dostajemy związek

$ (1) \qquad f \left( -\frac{1}{t+1}\right)=- f \left(\frac{1}{t+1}\right). $

W drugim równaniu podstawiamy kolejno $x = 1/t$ , $x = -1/(t + 1)$ , $x = t$ ; uzyskujemy zależności

$ (2) \qquad f\left(\frac{t+1}{t} \right)=f\left(\frac{1}{t} \right)+1, $

$ (3) \qquad f\left(\frac{t}{t+1} \right)=f\left(-\frac{1}{t+1} \right)+1, $

$ (4) \qquad f\left(t+1 \right)=f\left(t \right)+1. $

Wreszcie w trzecim równaniu podstawiamy kolejno $x = (t + 1)/t$ , $x = t$ , $x = t + 1$ ; otrzymujemy równości

$ (5) \qquad f\left(\frac{t}{t+1} \right)=\left(\frac{t}{t+1} \right)^2f\left(\frac{t+1}{t} \right), $

$ (6) \qquad f\left(\frac{1}{t} \right)=\frac{f(t)}{t^2}, $

$ (7) \qquad f\left(\frac{1}{t+1} \right)=\frac{f(t+1)}{(t+1)^2}. $

Przekształcimy na dwa sposoby wartość $f(\frac{t}{t+1})$ . Ze wzorów (3), (1), (7), (4) otrzymujemy

$ f\left(\frac{t}{t+1}\right)=-f\left(\frac{1}{t+1}\right)+1=-\frac{f(t+1)}{(t+1)^2}+1=-\frac{f(t)+1}{(t+1)^2}+1, $

a ze wzorów (5), (2), (6) dostajemy

$ f\left(\frac{t}{t+1} \right)= \left(\frac{t}{t+1} \right)^2 \left( f\left(\frac{1}{t} \right)+1\right) = \left(\frac{t}{t+1} \right)^2 \left(\frac{f(t)}{t^2} +1\right). $

Przyrównujemy prawe strony otrzymanych wyrażeń:

$ -\frac{f(t)+1}{(t+1)^2}+1= \left(\frac{1}{t+1} \right)^2 (f(t)+t^2). $

Pomnożenie stronami przez $(t+1)^2$ daje równość

$ -f(t)-1 + (t + 1)^2 = f(t) + t^2, $

czyli $f(t) = t$ .

Założyliśmy, że $t \neq 0$ , $t \neq -1$ . Ale równość $f(0) = 0$ wynika bezpośrednio z nieparzystości funkcji $f$ ; stąd zaś (wykorzystując podane równania jeszcze raz) mamy $0 =f(0) =f((-1) + 1) =f(-1)+1$ , czyli $f(-1) = -1$ . Ostatecznie więc

$ f(t) = t \quad \textrm{dla wszystkich } t\in \mathbb{R}. $

Sprawdzenie, że ta funkcja spełnia zadane równania, jest natychmiastowe.