XLIV OM - III - Zadanie 6

Zawody matematyczne:

XLIV OM, 1992-1993

Etap:

III

Rozstrzygnąć, czy można obliczyć objętość czworościanu znając pola jego czterech ścian oraz promień kuli opisanej (tzn. czy objętość czworościanu jest funkcją pól jego ścian i promienia kuli opisanej).

Rozwiązanie

Czworościan jest wyznaczony, z dokładnością do izometrii, przez sześć parametrów (na przykład długości sześciu krawędzi). Pola ścian i promień kuli opisanej - to tylko pięć informacji (równań). Stąd przypuszczenie, że odpowiedź na postawione pytanie powinna być negatywna. (Podkreślamy, że to tylko podstawa przypuszczenia, ale w żadnym razie nie dowód; zauważmy zresztą, że gdyby w sformułowaniu zadania zmienić słówko ,,opisanej'' na ,,wpisanej'', odpowiedź byłaby pozytywna...)

W rozważanym zagadnieniu odpowiedź istotnie brzmi: nie. Aby ją uzasadnić, wystarczy podać przykład pary czworościanów o jednakowych polach ścian i promieniach kul opisanych, ale o różnych objętościach. Przykład taki można znaleźć w dość wygodnej do badania klasie czworościanów, w których każda para skośnych krawędzi jest parą przekątnych przeciwległych ścian pewnego prostopadłościanu.

Niech więc $\mathcal{P} = ABCDA'B'C'D'$ będzie prostopadłościanem o krawędziach długości

$ |AB| = |CD| = |A'B'| = |C'D'| = a, $

$ |BC| = |DA| = |B'C'| = |D'A'| = b, $

$ |AA'| = |BB'| = |CC| = |DD'| =c, $

i niech $ACB'D'$ będzie czworościanem z rozważanej klasy (rysunek 11). Promień kuli opisanej równa się

$ (1) \qquad R = \frac{1}{2} |AC'| = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2} . $

Krawędzie czworościanu mają długości

$ u = |AD'| = |B'C| = \sqrt{b^2+c^2} , $

$ v = |AB'| = |CD'| = \sqrt{c^2+a^2}, $

$ w=|AC| = |B'D'| = \sqrt{a^2+b^2} . $

Wszystkie ściany są trójkątami przystającymi (o bokach długości $u$ , $v$ , $w$ ), o jednakowym polu $S$ , które można wyrazić przez $a$ , $b$ , $c$ korzystając na przykład ze wzoru Herona:

$ (2) \qquad \begin{split} S &= \frac{1}{4} \Big( (u + v + w)(-u + v + w)(u - v + w)(u + v - w) \Big)^{1/2} =\\ &= \frac{1}{4} \Big( [(v + w)^2-u^2][u^2-(v-w^2]\Big)^{1/2}\\ & = \frac{1}{4} \Big( [(c^2 + 2a^2+b^2 + 2vw)-(b^2 + c^2)] \times\\ &\qquad\qquad\times [(b^2 + c^2) - (c^2 + 2a^2 + b^2 - 2vw)] \Big)^{1/2} =\\ &= \frac{1}{4} \Big([2(a^2 + vw)] [2(vw-a^2)]\Big)^{1/2}= \frac{1}{2}\left(v^2w^2-a^4\right)^{1/2} =\\ &= \frac{1}{2}\left((c^2+ a^2)(a^2+ b^2)-a^4\right)^{1/2} = \frac{1}{2}\left(b^2c^2 + c^2a^2 + a^2b^2\right)^{1/2}. \end{split} $

Aby obliczyć objętość $V$ czworościanu $ACB'D'$ , zauważmy, że powstaje on z prostopadłościanu $\mathcal{P}$ przez odcięcie czterech ostrosłupów $ABCB'$ , $AC DD'$ , $A'B'D'A$ , $B'C'D'C$ , z których każdy ma objętość równą $1/6$ objętości $P$ , równej $abc$ . Zatem

$ (3) \qquad V = abc - 4\cdot \frac{1}{6} abc = \frac{1}{3} abc. $

Oznaczmy liczby $a^2$ , $b^2$ , $c^2$ odpowiednio przez $x$ , $y$ , $z$ . Zgodnie z wyprowadzonymi wzorami (1), (2), (3), zadanie będzie rozwiązane, jeśli znajdziemy dwie trójki liczb dodatnich $(x,y,z)$ oraz $(x',y',z')$ spełniające związki

$ (4) \qquad \begin{split} x+y+z&= x'+ y' +z',\\ yz + zx + xy &= y'z' + z'x' + x'y',\\ xyz &\neq x'y'z'. \end{split} $

Ten układ (dwóch równań i jednej nierówności) z sześcioma niewiadomymi ma wiele rozwiązań w liczbach dodatnich. Oto przykładowe rozwiązanie:

$ (x,y,z) = (2,5,5), \quad (x',y',z') = (6,3,3). $

Bierzemy więc prostopadłościany $\mathcal{P}$ i $\mathcal{P}'$ o wymiarach $\sqrt{2}\times\sqrt{5}\times\sqrt{5}$ oraz $\sqrt{6}\times \sqrt{3} \times \sqrt{3}$ i ,,wycinamy'' z nich czworościany o jednakowym promieniu kuli opisanej $R= \frac{1}{2}\sqrt{12}=\sqrt{3}$ , mające wszystkie ściany o jednakowym polu $S = \frac{1}{2}\sqrt{45}= \frac{3}{2}\sqrt{5}$ (wzory (1) i (2)). Objętości tych czworościanów wynoszą odpowiednio $\frac{5}{3} \sqrt{2}$ oraz $\sqrt{6}$ (wzór (3)).

Tak więc objętość czworościanu nie jest funkcją pól ścian i promienia kuli opisanej.

{\kom Uwaga.} Znajdowanie konkretnych liczb $x$ , $y$ , $z$ oraz $x'$ , $y'$ , $z'$ , spełniających warunki (4), nie jest konieczne. Możliwe jest następujące dokończenie rozumowania:

Wybierzmy w dowolny sposób trójkę różnych liczb dodatnich $(x,y,z)$ i weźmy pod uwagę wielomian

$ (5) \qquad P(t) = (t-x)(t-y)(t-z) = t^3-pt^2 + qt-r, $

gdzie

$ p = x + y + z, \quad q = yz + zx+xy, \quad r = xyz. $

Liczby $x$ , $y$ , $z$ są pierwiastkami tego wielomianu; jego wykres przecina oś zmiennej niezależnej ( $t$ ) w punktach o odciętych $x$ , $y$ , $z$ . Żaden z pierwiastków nie jest wielokrotny, więc w każdym z tych punktów funkcja $t\mapsto P(t)$ zmienia znak.

Niech $k$ będzie liczbą różną od zera, o niewielkiej wartości bezwzględnej. Wykres wielomianu

$ (6) \qquad Q(t) = P(t)-k $

powstaje przez przesunięcie wykresu wielomianu $P(t)$ w dół lub w górę (w zależności od znaku $k$ ),o wektor długości $|k|$ . Jeżeli wartość $|k|$ jest dostatecznie mała, to przesunięty w ten sposób wykres nadal przecina oś $t$ w trzech różnych punktach, których odcięte także są liczbami dodatnimi. Oznaczmy te odcięte przez $x'$ , $y'$ , $z'$ . Są to pierwiastki wielomianu $Q(t)$ , a więc