XLIII OM - I - Zadanie 1

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

Wyznaczyć, w zależności od stałych rzeczywistych $a$ , $b$ liczbę rozwiązań układu równań

$ \begin{cases} |x+y|+|x-y| &= 2a \\ y-b &= |x-b|. \end{cases} $

Rozwiązanie

Na płaszczyźnie z kartezjańskim układem współrzędnych $Oxy$ rozważamy zbiory $A$ i $B$ wyznaczone (odpowiednio) przez pierwsze i drugie równanie układu:

$ A=\{ (x,y) \colon |x+y| + |x-y|=2a \}, $

$ B=\{ (x,y) \colon y-b = |x-b| \}. $

Niech $|A \cap B|$ oznacza liczbę elementów zbioru $A \cap B$ , czyli liczbę rozwiązań rozważanego układu równań.

Gdy $a < 0$ , zbiór $A$ jest pusty, więc $|A \cap B|=0$ .

Gdy $a = 0$ , wówczas $A$ jest zbiorem jednoelementowym, którego jedynym elementem jest początek układu współrzędnych $O=(0,0)$ . Zbiór $A \cap B$ jest jednoelementowy lub pusty w zależności od togo, czy punkt $O$ należy do $B$ , czy nie. Oczywiście $O \in B$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b \leq 0$ .

Rozważmy teraz przypadek, w którym $a > 0$ . Zbiór $A$ jest brzegiem kwadratu $K$ o wierzchołkach $(a,a)$ , $(-a,a)$ , $(-a,-a)$ , $(a,-a)$ . Uzasadnienie: część zbioru $A$ zawarta w ćwiartce płaszczyzny wyznaczonej przez nierówności $x \geq 0$ , $-x \leq y \leq x$ jest dana równaniem: $(x + y) + (x -y) = 2a$ , czyli $x = a$ ; jest to więc odcinek (bok kwadratu $K$ ), którego końcami są punkty $(a,-a)$ i $(a,a)$ . Analogicznie stwierdzamy, że część zbioru $A$ zawarta w dowolnej z czterech ćwiartek otrzymanych przez podział płaszczyzny prostymi $y= x$ i $y =-x$ jest odpowiednim bokiem kwadratu $K$ .

Zbiór $B$ jest (dla każdej wartości $b$ ) sumą dwóch półprostych o wspólnym początku $P = (b,b)$ , tworzących kąt prosty, którego dwusieczną jest półprosta

$ \{ (x,y) \colon x=b,\ y \geq b \}. $

(Uzasadnienie przez rozpatrzenie sytuacji, gdy $x \geq b$ i gdy $x<b$ .) Punkt $P$ leży na przekątnej kwadratu $K$ lub na jej przedłużeniu. Zbiór $B$ jest rozłączny z brzegiem kwadratu $K$ (czyli ze zbiorem $A$ ), jeśli $b > a$ ; dotyka tego brzegu w jednym punkcie, jeśli $b=a$ ; przecina brzeg $K$ w dwóch punktach, jeśli $b < a$ (rysunek 1).

Uwzględniając wszystkie przypadki, otrzymujemy odpowiedź:

$ |A \cap B| = \left\{ \begin{array}{ccl} 0 & \textrm{gdy} & a<0 \ \textrm{lub} \ b>a \geq 0, \\ 1 & \textrm{gdy} & b \leq 0=a \ \textrm{lub} \ b=a>0,\\ 2 & \textrm{gdy} & a>0 \ \textrm{i} \ a>b. \end{array} \right. $

Można ją krótko zapisać tak:

$ |A \cap B| = 1 + \mathrm{sign} (2a-b-|b|). $