Opublikowane na Archiwum Olimpiady Matematycznej (https://archom.ptm.org.pl)

XLIII OM - I - Zadanie 2

Zawody matematyczne:

XLIII OM, 1991-1992

Etap:

I

W kwadracie $ABCD$ o boku długości $1$ punkt $E$ leży na boku $BC$ , punkt $F$ leży na boku $CD$ , miary kątów $EAB$ i $EAF$ wynoszą odpowiednio $20^{\circ}$ i $45^{\circ}$ . Obliczyć wysokość, trójkąta $AEF$ poprowadzoną z wierzchołka $A$ .

Rozwiązanie

Miara kąta $FAD$ wynosi $90^\circ - (20^\circ + 45^\circ) = 25^\circ$ . Z punktu $A$ prowadzimy półprostą tworzącą z półprostymi $AE$ i $AF$ odpowiednio kąty $20^\circ$ i $25^\circ$ , i odkładamy na niej odcinek $AG$ długości $1$ (rysunek 2).

Z równości $|AG| =|AB| = 1$ , $| \measuredangle EAG| = | \measuredangle EAB| = 20^\circ$ wynika, że trójkąt $EAG$ przystaje do $EAB$ .

Podobnie, z równości $|AG| = |AD| = 1$ , $| \measuredangle FAG| = | \measuredangle FAD| = 25^\circ$ wynika, że trójkąt $FAG$ przystaje do $FAD$ .

W takim razie

$<br /> | \measuredangle AGE| = | \measuredangle ABE| = 90^\circ, \quad<br /> | \measuredangle AGF| = | \measuredangle ADF| = 90^\circ.<br />$

To zaś oznacza, że punkt $G$ leży na odcinku $EF$ i jest spodkiem wysokości trójkąta $AEF$ poprowadzonej z wierzchołka $A$ . Jej długość $|AG| = 1$ .

Adres źródła: https://archom.ptm.org.pl/?q=node/596